Basic Probability

১. প্রোবাবিলিটির পরিচিতি

পরের চ্যাপ্টারে আমরা বেইজ থিওরেম নিয়ে কথা বলব — নতুন প্রমাণ পেলে বিশ্বাস কীভাবে বদলাতে হয়, সেটা। কিন্তু তার আগে দরকার প্রোবাবিলিটির বেসিক ভোকাবুলারি আর নিয়মগুলো, যার উপর পুরো প্রোবাবিলিটি থিওরি দাঁড়িয়ে আছে। এই চ্যাপ্টারটা সেই ফাউন্ডেশন — যেটা এই কোর্সে বারবার কাজে লাগবে।

প্রোবাবিলিটি কী?

প্রোবাবিলিটি হলো এমন একটা সংখ্যা, যেটা বলে দেয় কোনো একটা জিনিস ঘটার সম্ভাবনা কতটুকু। এটা সবসময় 0 আর 1-এর মাঝে থাকে (পার্সেন্টেজে বললে 0% থেকে 100%)। 0 মানে "এটা কখনোই ঘটবে না।" 1 মানে "এটা নিশ্চিতভাবে ঘটবেই।" বাকি সবকিছু এই দুইয়ের মাঝখানে — "হয়তো"-র বিভিন্ন মাত্রা।

তুমি প্রতিদিনই এভাবে চিন্তা করো, ফর্মুলা ছাড়াই:

• "আজ বৃষ্টি হওয়ার চান্স বেশ ভালোই আছে।"
• "লটারিতে আমার জেতার চান্স খুবই কম।"
• "বাস ঠিক সময়ে আসবে কিনা, ৫০-৫০।"

প্রোবাবিলিটি থিওরি আসলে এই "মনে হচ্ছে" জিনিসটাকেই একটা precise, consistent, আর হিসাবযোগ্য সংখ্যায় রূপান্তর করে — যাতে "সম্ভবত" একটা আন্দাজ না থেকে একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়ে যায়, যেটা তুমি হিসাব করতে পারো, তুলনা করতে পারো।

মেশিন লার্নিং-এ প্রোবাবিলিটি কেন গুরুত্বপূর্ণ?

মেশিন লার্নিং মডেল প্রায় কখনোই "নিশ্চিত" কিছু বলে না। একটা স্প্যাম ফিল্টার জানে না কোনো ইমেইল স্প্যাম কিনা — সে শুধু estimate করে, ইমেইলে থাকা শব্দগুলো দেখে, স্প্যাম হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু। একটা ইমেজ ক্লাসিফায়ার "জানে না" কোনো ছবিতে বিড়াল আছে কিনা — সে বলে "৯২% কনফিডেন্ট এটা বিড়াল।" এমনকি অনেক নিউরাল নেটওয়ার্কের শেষ লেয়ার (সফটম্যাক্স লেয়ার) সরাসরি একটা প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশনই আউটপুট দেয়।

মানে এর পরের প্রতিটা টপিক — মডেল কীভাবে ট্রেইন হয়, প্রেডিকশন কীভাবে ইন্টারপ্রেট করা হয়, ইউজারকে uncertainty কীভাবে জানানো হয়, error কীভাবে মাপা হয় — সবকিছুর ভিত্তি এই প্রোবাবিলিটি। এই ফাউন্ডেশন বাদ দিয়ে ML শেখা মানে যোগ-বিয়োগ না শিখেই ক্যালকুলাস শেখার চেষ্টা করা — এই চ্যাপ্টারের নোটেশন আর নিয়মগুলো সামনের প্রায় প্রতিটা চ্যাপ্টারেই দেখবে।

প্রোবাবিলিটির বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

প্রোবাবিলিটি শুধু বইয়ের বিষয় না — আমাদের চারপাশের অনেক সিস্টেমই চুপচাপ এটার উপর দাঁড়িয়ে আছে:

অনিশ্চয়তা মাপার একটা উপায় হিসেবে প্রোবাবিলিটি

এখানে একটা সূক্ষ্ম কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট আছে: প্রোবাবিলিটি শুধু "র‍্যান্ডমনেস" (কয়েন, ডাইসের মতো) নিয়ে না। এটা তার চেয়েও বড় — এটা অনিশ্চয়তা মাপার একটা মাপকাঠি, পুরোপুরি। কখনো এই অনিশ্চয়তা আসে আসল র‍্যান্ডমনেস থেকে (একটা fair কয়েন কোন দিকে পড়বে)। আবার কখনো এটা আসে অসম্পূর্ণ তথ্য থেকে, এমন কিছু নিয়ে যেটা আসলে আগে থেকেই ঠিক হয়ে আছে — যেমন, একটা কার্ড উল্টো করে টেবিলে রাখা আছে; সেটা কোন কার্ড, সেটা এখন আর "র‍্যান্ডম" না, ফিক্সড, কিন্তু তুমি এখনো জানো না — আর এই অনিশ্চয়তা বর্ণনা করার জন্যও প্রোবাবিলিটিই সঠিক টুল।

এই পার্থক্যটা ML-এ গুরুত্বপূর্ণ: যখন একটা মডেল বলে "আমি ৮০% কনফিডেন্ট এটা বিড়াল," তখন ছবিটাতে হয় বিড়াল আছে, নয়তো নেই — এখানে কোনো ডাইস রোল নেই। ৮০% আসলে মডেলের অনিশ্চয়তা প্রকাশ করছে, তার কাছে থাকা তথ্যের (পিক্সেল) ভিত্তিতে — জগতে কোনো র‍্যান্ডমনেস আছে বলে না।

প্রোবাবিলিটির স্কেল: ০ থেকে ১

যেভাবেই হিসাব করা হোক না কেন, প্রতিটা প্রোবাবিলিটি এই স্কেলের কোথাও না কোথাও পড়বে:

0                    0.5                    1
|---------------------|---------------------|
অসম্ভব            সমান সম্ভাবনা         নিশ্চিত

• ০ — অসম্ভব; কখনোই ঘটবে না (যেমন, একটা সাধারণ ছয়-পাশ ডাইসে ৭ ওঠা)।
• ১ — নিশ্চিত; সবসময় ঘটবে (যেমন, ডাইসে ১ থেকে ৬-এর মধ্যে কোনো একটা সংখ্যা ওঠা)।
• ০.৫ — সমান সম্ভাবনা; ঘটা বা না ঘটার চান্স সমান (যেমন, একটা fair কয়েনে হেড আসা)।

২. র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্ট

র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্ট কী?

র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্ট হলো এমন কোনো প্রক্রিয়া বা কাজ, যেটা একই কন্ডিশনে বারবার করা যায়, কিন্তু ঠিক কী ফলাফল আসবে সেটা আগে থেকে বলা যায় না — যদিও তুমি সব সম্ভাব্য ফলাফল আগেই লিস্ট করতে পারো। "এক্সপেরিমেন্ট" মানে এখানে ল্যাবকোট আর বিকার না — শুধু "একটা কাজ যেটা করে তুমি একটা ফলাফল দেখো।"

র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্টের দুইটা প্রধান বৈশিষ্ট্য:

১. এটা একই কন্ডিশনে বারবার রিপিট করা যায় (অন্তত থিওরিতে)। ২. তুমি আগে থেকেই সব সম্ভাব্য ফলাফল জানো, কিন্তু কোনো একটা নির্দিষ্ট চেষ্টায় ঠিক কোনটা আসবে সেটা জানো না।

ডিটারমিনিস্টিক বনাম র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্ট

সব প্রক্রিয়াই র‍্যান্ডম না। একটা ডিটারমিনিস্টিক এক্সপেরিমেন্ট একই কন্ডিশনে বারবার করলে সবসময় একই ফলাফল দেয় — এখানে কোনো অনিশ্চয়তাই নেই।

র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্টের উদাহরণ

কয়েন টস

একটা fair কয়েন টস করা। দুইটা সম্ভাব্য ফলাফল — হেড (H) আর টেইল (T)। কোনটা আসবে সেটা তুমি আগে থেকে বলতে পারো না, যদিও দুইটা সম্ভাবনাই তোমার জানা।

ডাইস রোল

একটা সাধারণ ছয়-পাশ ডাইস রোল করা। সম্ভাব্য ফলাফল ১ থেকে ৬। প্রতিটা রোল আলাদাভাবে অপ্রত্যাশিত, যদিও ছয়টা সম্ভাব্য ফলাফলই আগে থেকে জানা।

কার্ড টানা

একটা ভালোভাবে শাফল করা ৫২ কার্ডের ডেক থেকে একটা কার্ড টানা। তুমি জানো এটা ৫২টার একটা হবে (স্পেডের টেক্কা বা হার্টের ৭ হতে পারে), কিন্তু টানার আগে জানো না ঠিক কোনটা।

স্যাম্পল বাছাই

একটা বড় গ্রুপ থেকে কয়েকটা আইটেম র‍্যান্ডমলি বাছাই করা — যেমন, ৪০ জনের একটা ক্লাস থেকে ৫ জন স্টুডেন্ট বেছে সার্ভে করা, অথবা একটা ফ্যাক্টরিতে অ্যাসেম্বলি লাইন থেকে র‍্যান্ডমলি ১০টা পার্টস ইন্সপেকশনের জন্য তোলা। কোন স্টুডেন্ট বা পার্টস বাছা হবে সেটা আগে থেকে জানা যায় না, যদিও পুরো পুল আগে থেকেই জানা।

৩. স্যাম্পল স্পেস

স্যাম্পল স্পেসের সংজ্ঞা

একটা র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্টের স্যাম্পল স্পেস হলো সেই এক্সপেরিমেন্টের সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। সাধারণত $S$ দিয়ে লেখা হয় (কখনো $\Omega$, গ্রীক অক্ষর "ওমেগা", আরো অ্যাডভান্সড বইতে)। এক্সপেরিমেন্ট চালালে যা কিছু ঘটতে পারে, সবই $S$-এর মধ্যে থাকতে হবে — যা আসলে সম্ভব তার কিছুই বাদ যাবে না, আর যা অসম্ভব তা এখানে থাকবে না।

স্যাম্পল পয়েন্ট / আউটকাম

স্যাম্পল স্পেসের প্রতিটা আলাদা উপাদানকে বলা হয় স্যাম্পল পয়েন্ট বা শুধু আউটকাম। যেমন, একটা কয়েন টসে "হেড" একটা স্যাম্পল পয়েন্ট, আর "টেইল" আরেকটা।

ফাইনাইট বনাম ইনফাইনাইট স্যাম্পল স্পেস

একটা স্যাম্পল স্পেস ফাইনাইট (সসীম) হয় যদি এতে গোনার মতো, সীমিত সংখ্যক ফলাফল থাকে যা তুমি থিওরিতে পুরোপুরি লিস্ট করতে পারবে (কয়েন টস, ডাইস রোল, কার্ড টানা)। একটা স্যাম্পল স্পেস ইনফাইনাইট (অসীম) হয় যদি সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার কোনো উপরের সীমা না থাকে — যেমন, "প্রথম হেড আসার আগে কয়টা কয়েন টস লাগবে" — এটা থিওরিতে অনন্তকাল চলতে পারে (১ টস, ২ টস, ৩ টস, ...), তাই এই স্যাম্পল স্পেস ইনফাইনাইট।

ডিসক্রিট বনাম কন্টিনিউয়াস স্যাম্পল স্পেস

এটা একটা সম্পর্কিত কিন্তু একটু ভিন্ন পার্থক্য — স্যাম্পল স্পেসের মানের ধরন নিয়ে:

• একটা ডিসক্রিট স্যাম্পল স্পেসে আলাদা, গোনার মতো, স্বতন্ত্র মান থাকে, মাঝে গ্যাপ থাকে — যেমন পূর্ণসংখ্যা (ডাইসের ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬)।
• একটা কন্টিনিউয়াস স্যাম্পল স্পেসে একটা রেঞ্জের মধ্যে যেকোনো সংখ্যা থাকতে পারে, কোনো গ্যাপ নেই — যেমন একজন দৌড়বিদের রেস শেষ করতে ঠিক কত সময় লাগলো (সেকেন্ডে, অনন্ত দশমিক স্থান পর্যন্ত নিখুঁত), এটা ১২.৪৮৩৭২১... সেকেন্ড বা রেঞ্জের যেকোনো real number হতে পারে।

স্যাম্পল স্পেসের উদাহরণ

• একবার কয়েন টস: $S = \{H, T\}$
• একবার ডাইস রোল: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• দুইবার কয়েন টস: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ — খেয়াল করো এখানে $2 \times 2 = 4$টা ফলাফল, কারণ প্রতিটা টসের ২টা করে সম্ভাবনা আর দুটো টস মিলে গুণ হয়।
• ৫২ কার্ডের ডেক থেকে একটা কার্ড টানা: $S$ = সব ৫২টা নির্দিষ্ট কার্ডের সেট।

৪. ইভেন্ট

ইভেন্ট কী?

একটা ইভেন্ট হলো স্যাম্পল স্পেসের যেকোনো সাবসেট — মানে, তুমি যেসব ফলাফল নিয়ে চিন্তিত, তাদের একটা কালেকশন। স্যাম্পল স্পেস $S$ সবকিছু লিস্ট করে যা ঘটতে পারে, আর একটা ইভেন্ট $A$ তার মধ্যে থেকে একটা নির্দিষ্ট অংশ বেছে নেয়: তোমার প্রশ্নের জন্য যেসব ফলাফল "হ্যাঁ" গণনায় পড়ে।

যেমন, একটা ডাইস রোলে $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$-এ, "জোড় সংখ্যা ওঠা" একটা ইভেন্ট: $A = \{2, 4, 6\}$।

সিম্পল ইভেন্ট

একটা সিম্পল ইভেন্ট (একে এলিমেন্টারি ইভেন্ট-ও বলে — বেশিরভাগ বইয়ে দুইটা টার্মই একই অর্থে ব্যবহার হয়) মানে ঠিক একটা মাত্র ফলাফল। ডাইসে "ঠিক ৪ ওঠা" একটা সিম্পল ইভেন্ট: $\{4\}$।

কম্পাউন্ড ইভেন্ট

একটা কম্পাউন্ড ইভেন্ট দুই বা তার বেশি ফলাফল একসাথে নিয়ে গঠিত। "জোড় সংখ্যা ওঠা", $\{2, 4, 6\}$, একটা কম্পাউন্ড ইভেন্ট, কারণ এখানে তিনটা আলাদা ফলাফল একসাথে আছে।

এলিমেন্টারি ইভেন্ট

আগেই বলা হয়েছে, এটা সিম্পল ইভেন্টেরই আরেক নাম — একটা মাত্র ফলাফলের ইভেন্ট, যেমন ডাইসে $\{3\}$। বিভিন্ন বই বিভিন্ন টার্ম বেশি ব্যবহার করে; এই কোর্সে দুটোকেই সমার্থক ধরা হবে।

সার্টেইন ইভেন্ট (নিশ্চিত ঘটনা)

সার্টেইন ইভেন্ট হলো এমন ইভেন্ট যেটা সবসময় ঘটবেই — এটা পুরো স্যাম্পল স্পেস $S$-এর সমান। ডাইস রোলে "ফলাফল ১ থেকে ৬-এর মধ্যে একটা সংখ্যা" একটা সার্টেইন ইভেন্ট, কারণ এটা প্রতিবারই সত্যি হবে।

ইম্পসিবল ইভেন্ট (অসম্ভব ঘটনা)

ইম্পসিবল ইভেন্ট হলো এমন ইভেন্ট যেটা কখনোই ঘটতে পারে না — এটা এম্পটি সেট, $\emptyset$ বা $\{\}$ দিয়ে লেখা হয়। ডাইস রোলে "ফলাফল ৭" অসম্ভব, কারণ ৭ আসলে স্যাম্পল স্পেসেই নেই।

কমপ্লিমেন্টারি ইভেন্ট

একটা ইভেন্ট $A$-র কমপ্লিমেন্ট, $A^c$ (কখনো $A'$ বা $\bar{A}$ দিয়েও লেখা হয়), মানে "স্যাম্পল স্পেসের সবকিছু যা $A$-তে নেই।" যদি $A$ = "জোড় সংখ্যা ওঠা" = $\{2, 4, 6\}$ হয়, তাহলে $A^c$ = "বিজোড় সংখ্যা ওঠা" = $\{1, 3, 5\}$। $A$ আর $A^c$ মিলে সবসময় পুরো স্যাম্পল স্পেস কভার করে, কোনো ওভারল্যাপ ছাড়া — প্রতিটা ফলাফল এই দুইটার মধ্যে ঠিক একটাতেই থাকবে।

সাবটপিক

ইভেন্ট রিপ্রেজেন্টেশন। ইভেন্টগুলো সাধারণত বড় হাতের অক্ষর দিয়ে লেখা হয় ($A$, $B$, $C$, ...) আর একটা ফলাফলের সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, হয় সরাসরি লিস্ট করে (যেমন $\{2, 4, 6\}$) নাহলে নিয়মটা বর্ণনা করে ("যেসব ফলাফল জোড়")।

স্যাম্পল স্পেসের সাবসেট হিসেবে ইভেন্ট। এটাই মূল মেন্টাল মডেল মনে রাখার মতো: $S$ হলো এই এক্সপেরিমেন্টের সম্ভাবনার পুরো জগৎ, আর যেকোনো ইভেন্ট $A$ হলো সেই জগতের একটা অংশ, $A \subseteq S$ লিখে বোঝানো হয়। একটা ইভেন্টে এমন কোনো ফলাফল থাকতে পারে না, যেটা $S$-এ নেই।

ইভেন্ট নোটেশন। এখান থেকে সামনে বারবার দেখবে এমন কিছু নোটেশন:

• $A \subseteq S$ — "$A$ হলো $S$-এর সাবসেট (এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত)।"
• $|A|$ — ইভেন্ট $A$-তে কতগুলো ফলাফল আছে (এর "সাইজ")।
• $A^c$ — $A$-র কমপ্লিমেন্ট ($S$-এর মধ্যে যা $A$-তে নেই)।

ইভেন্টের উদাহরণ। ডাইস রোল, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:

• "৪-এর বেশি সংখ্যা ওঠা": $\{5, 6\}$ — একটা কম্পাউন্ড ইভেন্ট।
• "ঠিক ১ ওঠা": $\{1\}$ — একটা সিম্পল ইভেন্ট।
• "১-এর কম সংখ্যা ওঠা": $\emptyset$ — একটা ইম্পসিবল ইভেন্ট।
• "১ থেকে ৬-এর মধ্যে (দুইটাসহ) কোনো সংখ্যা ওঠা": $\{1,2,3,4,5,6\} = S$ — সার্টেইন ইভেন্ট।

৫. প্রোবাবিলিটির জন্য সেট থিওরি

ইভেন্ট আসলে সেট, তাই প্রোবাবিলিটির আসল নিয়মগুলো বলার আগে সেট থিওরির একটা ছোট, প্র্যাক্টিক্যাল রিভিউ দরকার — যতটুকু লাগে ইভেন্টগুলো সহজে পড়তে আর নিয়ে কাজ করতে।

সেট আর এলিমেন্ট

একটা সেট হলো আলাদা আলাদা জিনিসের একটা সুনির্দিষ্ট কালেকশন, যাদের বলা হয় তার এলিমেন্ট। প্রোবাবিলিটিতে, স্যাম্পল স্পেস $S$ একটা সেট, আর প্রতিটা সম্ভাব্য ফলাফল সেই সেটের একটা এলিমেন্ট। $x \in S$ লিখলে মানে "$x$, $S$-এর একটা এলিমেন্ট" (যেমন, $4 \in \{1,2,3,4,5,6\}$)।

সাবসেট

একটা সেট $A$ হলো সেট $B$-র সাবসেট, $A \subseteq B$ লিখে বোঝানো হয়, যদি $A$-র প্রতিটা এলিমেন্ট $B$-তেও থাকে। যেমন আগে বলা হয়েছে, প্রতিটা ইভেন্টই স্যাম্পল স্পেসের সাবসেট।

ইউনিভার্সাল সেট

ইউনিভার্সাল সেট হলো সেই সেট যেটায় বর্তমান প্রবলেমের সাথে সম্পর্কিত সবকিছু আছে — প্রোবাবিলিটিতে এই ভূমিকায় থাকে স্যাম্পল স্পেস $S$ নিজেই। আমরা যত ইভেন্ট বা ফলাফল নিয়ে কথা বলি, সবই এই ইউনিভার্সাল সেটের ভেতরে থাকে।

এম্পটি সেট

এম্পটি সেট, $\emptyset$ বা $\{\}$ দিয়ে লেখা, এমন একটা সেট যাতে কোনো এলিমেন্ট নেই। উপরে দেখেছ, এটাই ইম্পসিবল ইভেন্ট।

ইউনিয়ন

দুইটা সেট $A$ আর $B$-র ইউনিয়ন, $A \cup B$ দিয়ে লেখা, মানে $A$-তে যা আছে, বা $B$-তে যা আছে, বা দুটাতেই যা আছে, তার সেট। এটাকে ভাবতে পারো, "দুইটা সেটের সবকিছু একসাথে করা, কোনো রিপিট ছাড়া।"

ইন্টারসেকশন

দুইটা সেট $A$ আর $B$-র ইন্টারসেকশন, $A \cap B$ দিয়ে লেখা, মানে যা $A$ আর $B$ — দুইটাতেই একসাথে আছে — মানে দুইটার মধ্যে ওভারল্যাপ।

কমপ্লিমেন্ট

ইভেন্ট সেকশনে যেভাবে বলা হয়েছে, $A$-র কমপ্লিমেন্ট, $A^c$, মানে ইউনিভার্সাল সেটে যা কিছু আছে কিন্তু $A$-তে নেই।

ডিফারেন্স

দুইটা সেটের ডিফারেন্স, $A - B$ (বা $A \setminus B$) দিয়ে লেখা, মানে যেসব এলিমেন্ট $A$-তে আছে কিন্তু $B$-তে নেই। এটা সিমেট্রিক না — $A - B$ আর $B - A$ সাধারণত ভিন্ন সেট।

সাবটপিক

সেট নোটেশন। এই চ্যাপ্টার আর কোর্সের বাকি অংশে ব্যবহৃত সিম্বলগুলোর একটা quick-reference টেবিল:

ভেন ডায়াগ্রাম। একটা ভেন ডায়াগ্রাম হলো একটা ছবি, যেখানে সেটগুলোকে ওভারল্যাপিং সার্কেল (বা অন্য শেপ) দিয়ে দেখানো হয়, একটা রেক্টাঙ্গেলের মধ্যে যেটা ইউনিভার্সাল সেট রিপ্রেজেন্ট করে। এই চ্যাপ্টারে ইউনিয়ন, ইন্টারসেকশন, কমপ্লিমেন্ট, ডিফারেন্স বোঝার জন্য এটাই সবচেয়ে কাজের ভিজ্যুয়াল টুল — ফর্মুলা মুখস্থ না করে অনেক সময় শুধু "দেখেই" উত্তর বোঝা যায়।

সেট অপারেশন। এই অপারেশনগুলো অঙ্কের মতোই একটার পর একটা চেইন করা যায় — তুমি $(A \cup B)^c$ (A আর B-র ইউনিয়নের বাইরে সবকিছু) বা $A \cap B^c$ (A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই — এটা আসলে $A - B$-র সমান) হিসাব করতে পারো।

সেট আর ইভেন্টের সম্পর্ক। এই পুরো সেকশনের মূল লাভ এখানেই: প্রতিটা ইভেন্ট একটা সেট, প্রতিটা ফলাফল একটা এলিমেন্ট, স্যাম্পল স্পেস হলো ইউনিভার্সাল সেট, আর তুমি যা কিছু শিখলে — ইউনিয়ন, ইন্টারসেকশন, কমপ্লিমেন্ট, ডিফারেন্স — সবকিছুরই প্রোবাবিলিটির ভাষায় একটা সরাসরি, অর্থপূর্ণ অনুবাদ আছে। "$A$ অথবা $B$ ঘটে" মানে $A \cup B$। "$A$ এবং $B$ দুটোই ঘটে" মানে $A \cap B$। "$A$ ঘটে না" মানে $A^c$। এই অনুবাদটাই সাধারণ ইংরেজি/বাংলায় জিজ্ঞাসা করা প্রোবাবিলিটি প্রশ্ন আর এই চ্যাপ্টারের বাকি ফর্মুলার মাঝের সেতু।

৬. প্রোবাবিলিটির বেসিক নিয়ম

এখন যেহেতু স্যাম্পল স্পেস আর ইভেন্ট precisely সংজ্ঞায়িত হয়ে গেছে, আমরা এখন বলতে পারি ঠিক কোন নিয়মে একটা ইভেন্টকে একটা প্রোবাবিলিটি সংখ্যা দেওয়া হয়।

একটা র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্টে, যেখানে স্যাম্পল স্পেস $S$-এর প্রতিটা ফলাফল সমান সম্ভাব্য (equally likely), সেখানে একটা ইভেন্ট $A$-র প্রোবাবিলিটি:

উদাহরণ। একটা fair ডাইস রোল করে, $A$ = "জোড় সংখ্যা ওঠা" = $\{2, 4, 6\}$। তাহলে $|A| = 3$ আর $|S| = 6$, তাই $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$।

ইভেন্টের প্রোবাবিলিটি

$P(A)$ সবসময় বোঝায় "এক্সপেরিমেন্ট একবার চালালে ইভেন্ট $A$ ঘটার সম্ভাবনা কতটুকু।"

প্রোবাবিলিটির রেঞ্জ

প্রতিটা প্রোবাবিলিটি এই শর্ত মানে:

একটা প্রোবাবিলিটি কখনো নেগেটিভ হতে পারে না, আর কখনো ১-এর বেশি হতে পারে না। যদি হিসাব করে এই রেঞ্জের বাইরে কিছু পাও, তাহলে কোথাও একটা গণিতের ভুল হয়েছে।

স্যাম্পল স্পেসের প্রোবাবিলিটি

যেহেতু $S$-এ সব সম্ভাব্য ফলাফল আছে, "$S$-এর মধ্যে কিছু একটা ঘটবে" নিশ্চিত — তাই প্রোবাবিলিটি ১। এটা উপরের ফর্মুলার সাথেও মেলে: $P(S) = \frac{|S|}{|S|} = 1$।

ইম্পসিবল ইভেন্টের প্রোবাবিলিটি

এম্পটি সেটে কোনো ফলাফল নেই, তাই এটা কখনোই ঘটতে পারে না — প্রোবাবিলিটি ০। এটাও ফর্মুলার সাথে মিলে: $P(\emptyset) = \frac{0}{|S|} = 0$।

কমপ্লিমেন্ট রুল

যেহেতু $A$ আর $A^c$ মিলে পুরো স্যাম্পল স্পেস কভার করে, কোনো ওভারল্যাপ ছাড়া, তাদের প্রোবাবিলিটি যোগ করলে ঠিক ১ হবে। এটা একটা খুব কাজের শর্টকাট দেয়: যখন $P(A)$ সরাসরি হিসাব করা কঠিন মনে হয়, কিন্তু $P(A^c)$ হিসাব করা সহজ, তখন শুধু কমপ্লিমেন্ট হিসাব করে ১ থেকে বিয়োগ করো।

উদাহরণ। একটা fair ডাইসে অন্তত ২ ওঠার প্রোবাবিলিটি কত? "অন্তত ২"-র কমপ্লিমেন্ট হলো "ঠিক ১," যেটা সহজ: $P(\text{ঠিক }1) = \frac{1}{6}$। তাই $P(\text{অন্তত }2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।

গুরুত্বপূর্ণ ফর্মুলা

৭. প্রোবাবিলিটির অ্যাডিশন রুল

ইউনিয়নের প্রোবাবিলিটি

অ্যাডিশন রুল এই প্রশ্নের উত্তর দেয়: "$A$ ঘটার, বা $B$ ঘটার, বা দুটোই ঘটার প্রোবাবিলিটি কত?" — মানে $P(A \cup B)$।

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট

দুইটা ইভেন্ট মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ (disjoint-ও বলা হয়) যদি তারা একই সাথে ঘটতেই না পারে — তাদের মধ্যে কোনো কমন ফলাফল নেই, মানে $A \cap B = \emptyset$। একটা ডাইস রোলে, "২ ওঠা" আর "৫ ওঠা" মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ: একবার থ্রোতে দুটোই ওঠা সম্ভব না।

নন-মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট

দুইটা ইভেন্ট নন-মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ যদি তারা একসাথে ঘটতে পারে — তাদের মধ্যে অন্তত একটা কমন ফলাফল আছে, মানে $A \cap B \neq \emptyset$। একটা ডাইস রোলে, "জোড় সংখ্যা" ($\{2,4,6\}$) আর "৩-এর বেশি সংখ্যা" ($\{4,5,6\}$) নন-মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ, কারণ ৪ আর ৬ দুইটাতেই আছে।

সাবটপিক

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্টের জন্য অ্যাডিশন রুল। যখন $A$ আর $B$ একসাথে ঘটতে পারে না, তখন তাদের আলাদা আলাদা প্রোবাবিলিটি সরাসরি যোগ করলেই হয়:

জেনারেল অ্যাডিশন রুল। যখন $A$ আর $B$ ওভারল্যাপ করতে পারে, তখন $P(A)$ আর $P(B)$ সরাসরি যোগ করলে তাদের কমন ফলাফলগুলো দুইবার গণনা হয়ে যায় — তাই একবার সেই ওভারল্যাপটা বিয়োগ করে দিতে হয়:

খেয়াল করো, মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ভার্সনটা আসলে জেনারেল রুলেরই একটা বিশেষ কেস: যখন $A \cap B = \emptyset$, তখন $P(A \cap B) = 0$, আর ফর্মুলাটা সরাসরি $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$-তে নেমে আসে।

ওভারল্যাপিং ইভেন্ট বোঝা। "ওভারল্যাপ" কোনো special বা বিরল ব্যাপার না — এটাই স্বাভাবিক কেস, আর মিউচুয়াল এক্সক্লুসিভিটি হলো special কেস। দুইটা ইভেন্ট একসাথে ঘটার কোনো সম্ভাবনা থাকলে, ধরে নাও তারা ওভারল্যাপ করতে পারে আর জেনারেল ফর্মুলা ব্যবহার করো, যতক্ষণ না তুমি নিশ্চিত হচ্ছ $A \cap B = \emptyset$।

ভেন ডায়াগ্রাম দিয়ে বোঝা। $A$ আর $B$-কে দুইটা ওভারল্যাপিং সার্কেল হিসেবে কল্পনা করো। $P(A \cup B)$ হলো দুইটা সার্কেলের যেকোনো একটা কভার করা মোট শেডেড এরিয়া। যদি প্রথমে $A$ সম্পূর্ণ শেড করো, তারপর $B$ সম্পূর্ণ শেড করো, তাহলে মাঝের ওভারল্যাপিং অংশটা দুইবার শেড হয়ে যায় — $P(A \cap B)$ বিয়োগ করা মানে আসলে সেই দুইবার শেড হওয়া মাঝের অংশটাকে আবার এক লেয়ারে নামিয়ে আনা।

উদাহরণ। একটা ৫২ কার্ডের ডেক থেকে একটা কার্ড টেনে, $A$ = "কার্ডটা King" ($|A|=4$) আর $B$ = "কার্ডটা Heart" ($|B|=13$)। এরা ওভারল্যাপ করে: $A \cap B$ = "King of Hearts" ($|A \cap B| = 1$)।

গুরুত্বপূর্ণ ফর্মুলা

৮. প্রোবাবিলিটির মাল্টিপ্লিকেশন রুল

ইন্টারসেকশনের প্রোবাবিলিটি

মাল্টিপ্লিকেশন রুল একটা ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেয়: "$A$ এবং $B$ দুটোই ঘটার প্রোবাবিলিটি কত?" — মানে $P(A \cap B)$।

ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট

দুইটা ইভেন্ট ইন্ডিপেন্ডেন্ট (স্বাধীন) যদি একটার ঘটা আরেকটার প্রোবাবিলিটিতে কোনো প্রভাবই না ফেলে। $A$ ঘটেছে জানলে $B$ ঘটবে কিনা সেই ব্যাপারে তুমি কোনো নতুন তথ্যই পাও না। দুইটা আলাদা কয়েন টস করা এর ক্লাসিক উদাহরণ: প্রথম কয়েনে হেড আসলে দ্বিতীয় কয়েনে কী আসবে সেই ব্যাপারে কিছুই বলে না।

ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট

দুইটা ইভেন্ট ডিপেন্ডেন্ট যদি একটার ঘটা আসলেই আরেকটার প্রোবাবিলিটি বদলে দেয়। replacement ছাড়া একটা ডেক থেকে দুইটা কার্ড টানা ডিপেন্ডেন্ট: প্রথমে একটা King টানলে বাকি ডেকের কম্পোজিশন বদলে যায়, যেটা দ্বিতীয়বার King টানার প্রোবাবিলিটি বদলে দেয় (এখন বাকি ৫১টা কার্ডে মাত্র ৩টা King, আগের ৫২টায় ৪টার বদলে)।

সাবটপিক

ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্টের জন্য মাল্টিপ্লিকেশন রুল। যখন $A$ আর $B$ ইন্ডিপেন্ডেন্ট, তখন দুইটাই ঘটার প্রোবাবিলিটি হলো তাদের আলাদা আলাদা প্রোবাবিলিটির গুণফল:

উদাহরণ। একটা fair কয়েন দুইবার টস করো। $P(\text{প্রথমে H}) = \frac{1}{2}$ আর $P(\text{দ্বিতীয়ে H}) = \frac{1}{2}$, আর দুইটা টস ইন্ডিপেন্ডেন্ট, তাই:

এটা সরাসরি স্যাম্পল স্পেসের সাথে মেলে: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$, আর এই ৪টা সমান সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে মাত্র ১টা "দুইটাই হেড" — $\frac{1}{4}$, যেটা ফর্মুলার সাথে মিলে যাচ্ছে।

জেনারেল মাল্টিপ্লিকেশন রুল। ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্টের জন্য, শুধু আলাদা আলাদা প্রোবাবিলিটি গুণ করলে হবে না — তোমার দরকার কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটি, একটা ইভেন্টের প্রোবাবিলিটি আরেকটা ইতিমধ্যে ঘটেছে ধরে নিয়ে, $P(B \mid A)$ দিয়ে লেখা:

উদাহরণ। replacement ছাড়া একটা ৫২ কার্ডের ডেক থেকে দুইটা কার্ড টানো। দুইটাই King হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত?

দ্বিতীয় ভগ্নাংশটা $\frac{4}{52}$ থেকে $\frac{3}{51}$-এ বদলে গেল ঠিক কারণ প্রথম টান ডেকটাকে বদলে দিয়েছে — এটাই ডিপেন্ডেন্সি বাস্তবে দেখতে পাওয়া।

জয়েন্ট অকারেন্স বোঝা। "$A$ আর $B$ দুইটাই ঘটে" একে বলা হয় তাদের জয়েন্ট অকারেন্স, আর $P(A \cap B)$ হলো তাদের জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি। এই আইডিয়াটা — একই সাথে একাধিক জিনিস সত্যি হওয়ার প্রোবাবিলিটি — মেশিন লার্নিং-এ বারবার দেখা যায়, যেখানে একটা মডেলের ইনপুটে প্রায়ই অনেক ফিচার থাকে, আর তোমার দরকার হয় ফিচারগুলোর সেই নির্দিষ্ট কম্বিনেশন একসাথে observe করার জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি।

গুরুত্বপূর্ণ ফর্মুলা

৯. মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ বনাম ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট

শুনতে এই দুইটা আইডিয়া একই রকম মনে হয়, আর প্রায়ই গুলিয়ে ফেলা হয় — কিন্তু ইভেন্টগুলোর মধ্যে সম্পূর্ণ ভিন্ন দুইটা সম্পর্ক বর্ণনা করে, আর এই দুইটা গুলিয়ে ফেলা এই পুরো চ্যাপ্টারের সবচেয়ে কমন ভুলগুলোর একটা (আরো দেখো সেকশন ১৩)।

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্টের সংজ্ঞা

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ মানে "দুটো একসাথে ঘটতে পারে না" — $A \cap B = \emptyset$। এটা ফলাফল ওভারল্যাপ করা নিয়ে একটা স্টেটমেন্ট।

ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্টের সংজ্ঞা

ইন্ডিপেন্ডেন্ট মানে "একটা ঘটলে আরেকটার প্রোবাবিলিটি বদলায় না" — $P(A \cap B) = P(A)P(B)$। এটা ইভেন্টগুলোর মধ্যে প্রভাব নিয়ে একটা স্টেটমেন্ট।

মূল পার্থক্য

উদাহরণ

• মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ, কিন্তু ইন্ডিপেন্ডেন্ট না: একটা কার্ড টেনে "Heart টানা" আর "Spade টানা।" এরা একসাথে কখনো ঘটতে পারে না (মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ), কিন্তু তুমি Heart টেনেছ জানলে নিশ্চিতভাবে জানো যে Spade টানোনি — এটা আরেকটা ইভেন্টের প্রোবাবিলিটির উপর যতটা সম্ভব প্রভাব ফেলা যায় তার প্রায় সর্বোচ্চ, যেটা ইন্ডিপেন্ডেন্সের ঠিক উল্টো।
• ইন্ডিপেন্ডেন্ট, কিন্তু মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ না: "প্রথম কয়েন টস হেড" আর "দ্বিতীয় কয়েন টস হেড।" এরা একসাথে ঘটতেই পারে (মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ না), কিন্তু একটা টস আরেকটার প্রোবাবিলিটিতে কোনো প্রভাবই ফেলে না (ইন্ডিপেন্ডেন্ট)।

মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট সাধারণত ইন্ডিপেন্ডেন্ট হয় না কেন

আগের দুইটা সেকশনের ফর্মুলা দিয়ে এর precise কারণটা দেখা যাক: যদি $A$ আর $B$ মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ হয়, তাহলে $P(A \cap B) = 0$। যদি তারা একই সাথে ইন্ডিপেন্ডেন্টও হতো, তাহলে দরকার হতো $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, মানে $P(A)P(B) = 0$, যেটা বাধ্য করে $P(A) = 0$ অথবা $P(B) = 0$ হতে।

মানে: দুইটা মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট তখনই ইন্ডিপেন্ডেন্ট হতে পারে, যখন তাদের অন্তত একটার প্রোবাবিলিটি শুরু থেকেই শূন্য (মূলত, সেটা এমনিতেই অসম্ভব)। যেকোনো দুইটা সত্যিকারের সম্ভব ইভেন্টের জন্য ($P(A) > 0$ এবং $P(B) > 0$), মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ হওয়া আসলে সবচেয়ে শক্তিশালী ডিপেন্ডেন্স — $A$ ঘটেছে জানলে তুমি সম্পূর্ণ নিশ্চিতভাবে জানো $B$ ঘটেনি।

১০. প্রোবাবিলিটির জন্য কাউন্টিং বেসিক্স

প্রোবাবিলিটিতে কাউন্টিং কেন গুরুত্বপূর্ণ

ক্লাসিক্যাল প্রোবাবিলিটি ফর্মুলা, $P(A) = \frac{|A|}{|S|}$, তোমাকে গুনতে হবে $A$-তে কয়টা ফলাফল আছে আর $S$-এ কয়টা ফলাফল আছে। একটা কয়েন টস বা ডাইস রোলে হাতে গুনে ফেলা সহজ। কিন্তু "৫ জন স্টুডেন্টকে কতভাবে লাইনে দাঁড় করানো যায়" বা "৫২ কার্ডের কতরকম ৫-কার্ডের পোকার হ্যান্ড হতে পারে" — এমন কিছুতে হাতে সব লিস্ট করা একদম অবাস্তব — তাই দরকার সিস্টেমেটিক কাউন্টিং টুল।

ফান্ডামেন্টাল কাউন্টিং প্রিন্সিপল

ফান্ডামেন্টাল কাউন্টিং প্রিন্সিপল (একে মাল্টিপ্লিকেশন প্রিন্সিপল-ও বলে) বলে: যদি একটা কাজ $m$ উপায়ে করা যায়, আর দ্বিতীয়, ইন্ডিপেন্ডেন্ট একটা কাজ $n$ উপায়ে করা যায়, তাহলে দুইটা কাজ একসাথে করা যাবে $m \times n$ উপায়ে।

উদাহরণ। একটা রেস্টুরেন্টের মেন্যুতে ৪টা স্টার্টার আর ৩টা মেইন কোর্স আছে। কতরকম স্টার্টার-আর-মেইন কম্বিনেশন সম্ভব? $4 \times 3 = 12$টা কম্বিনেশন। এটা যেকোনো সংখ্যক কাজের জন্যও চলে: ৫টা শার্ট, ৩টা প্যান্ট, আর ২ জোড়া জুতা থেকে একটা আউটফিট বাছলে $5 \times 3 \times 2 = 30$টা সম্ভাব্য আউটফিট হয়।

ফ্যাক্টোরিয়াল

একটা পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা $n$-এর ফ্যাক্টোরিয়াল, $n!$ ("$n$ ফ্যাক্টোরিয়াল") দিয়ে লেখা, মানে $n$ থেকে ১ পর্যন্ত প্রতিটা পূর্ণসংখ্যার গুণফল:

সংজ্ঞা অনুযায়ী, $0! = 1$ (একটা কাজের কনভেনশন, যেটা পরের ফর্মুলাগুলো ভেঙে যাওয়া থেকে বাঁচায়)।

উদাহরণ। $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$। এটা গোনে, যেমন, ৫টা আলাদা বই একটা তাকে কতভাবে সাজানো যায়।

সাবটপিক

ফ্যাক্টোরিয়াল নোটেশন। শুধু একটা সংখ্যার পরে "!" সিম্বল: $3! = 6$, $4! = 24$, $6! = 720$। ফ্যাক্টোরিয়াল খুব দ্রুত বড় হয়ে যায় — $10!$ ইতিমধ্যেই $3{,}628{,}800$।

মাল্টিপ্লিকেশন প্রিন্সিপল। এটা উপরের ফান্ডামেন্টাল কাউন্টিং প্রিন্সিপলেরই আরেক নাম: যখন কাজগুলো একের পর এক করা হয় আর প্রতিটা চয়েস একে অপরের থেকে ইন্ডিপেন্ডেন্ট, তখন প্রতি ধাপের অপশনের সংখ্যা গুণ করো।

অ্যাডিশন প্রিন্সিপল। যখন তুমি একাধিক আলাদা, একে অপরের সাথে ওভারল্যাপ না করা ক্যাটাগরি থেকে একটা অপশন বাছছো (একের পর এক একাধিক কাজ করা না), তখন সংখ্যাগুলো গুণ না করে যোগ করো। যেমন, একটা দোকানে ৫ ধরনের কলম বা ৩ ধরনের পেন্সিল থাকে, আর তুমি ঠিক একটা লেখার জিনিস কিনবে (হয় কলম নয় পেন্সিল, দুটো না), তাহলে $5 + 3 = 8$টা চয়েস — যোগ, কারণ এটা "এটা অথবা ওটা," "এটা তারপর ওটা" না।

সিম্পল আউটকাম গোনা। এই দুইটা প্রিন্সিপলই আসলে আরো জটিল এক্সপেরিমেন্টের $|S|$ আর $|A|$ হিসাব করতে দেয়। "একটা কয়েন ৩ বার টস করা"-র জন্য, কাউন্টিং প্রিন্সিপল দেয় $|S| = 2 \times 2 \times 2 = 8$টা মোট ফলাফল, হাতে $HHH, HHT, HTH, \ldots$ লিখে ছাড়াই — যদিও এত ছোট কেসে সেগুলো লিখে ফেলাও নিজেকে চেক করার একটা ভালো উপায়।

১১. পারমিউটেশন আর কম্বিনেশন

পারমিউটেশন

একটা পারমিউটেশন হলো এমন একটা arrangement যেখানে অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ। "ABC" আর "BCA" একই তিনটা অক্ষরের দুইটা ভিন্ন পারমিউটেশন গণ্য হয়, কারণ তাদের আসার অর্ডার ভিন্ন।

কম্বিনেশন

একটা কম্বিনেশন হলো এমন একটা নির্বাচন যেখানে অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ না। $\{A, B, C\}$ গ্রুপটা বাছলে সেটা একই কম্বিনেশন, চাই তুমি আগে A বাছো বা আগে C — এটা শুধু "গ্রুপে কারা আছে," "কোন অর্ডারে" না।

পারমিউটেশন আর কম্বিনেশনের পার্থক্য

কখন পারমিউটেশন ব্যবহার করবে

পারমিউটেশন ব্যবহার করো যখন বাছাই করা আইটেমগুলোর পজিশন, র‍্যাঙ্ক, বা রোল গুরুত্বপূর্ণ — একটা ক্লাব থেকে প্রেসিডেন্ট, ভাইস-প্রেসিডেন্ট, ট্রেজারার বাছা, দৌড়বিদদের ১ম থেকে ৩য় র‍্যাঙ্ক দেওয়া, অথবা তাকে নির্দিষ্ট অর্ডারে বই সাজানো।

কখন কম্বিনেশন ব্যবহার করবে

কম্বিনেশন ব্যবহার করো যখন শুধু কোন আইটেমগুলো বাছা হলো সেটাই গুরুত্বপূর্ণ, কোনো র‍্যাঙ্কিং, অর্ডার, বা আলাদা রোল ছাড়া — একটা ৫ জনের কমিটি বাছা (কোনো আলাদা টাইটেল ছাড়া), ট্রিপে কোন ৩টা বই নেবে সেটা বাছা, অথবা একটা পোকার হ্যান্ড ডিল করা (যেখানে কার্ডগুলো কোন অর্ডারে এলো সেটা হ্যান্ড বদলায় না)।

সাবটপিক

nPr। $n$টা আলাদা আইটেমের গ্রুপ থেকে $r$টা বাছার পারমিউটেশনের সংখ্যা:

উদাহরণ। ৫ জন দৌড়বিদের মধ্যে ১ম, ২য়, ৩য় স্থান কতভাবে দেওয়া যায়? এখানে $n = 5$, $r = 3$:

nCr। $n$টা আলাদা আইটেমের গ্রুপ থেকে $r$টা বাছার কম্বিনেশনের সংখ্যা:

উদাহরণ। ৫ জন মানুষ থেকে (আলাদা রোল ছাড়া) কতরকম ৩-জনের কমিটি বানানো যায়? এখানে $n = 5$, $r = 3$:

খেয়াল করো, এটা ঠিক আগের ${}_5P_3 = 60$-কে $3! = 6$ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যাচ্ছে — কারণ ৩ জনের যেকোনো গ্রুপ ভিতরে ভিতরে $3! = 6$ রকম আলাদা অর্ডারে সাজানো যায়, আর অর্ডার আর গুরুত্বপূর্ণ না থাকলে সেই ৬টা অর্ডারই একটা মাত্র কম্বিনেশনে মিলে যায়।

অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ বনাম না। এই একটা প্রশ্নই — "এই সমস্যার জন্য বাছা আইটেমগুলোর অর্ডার বা রোল গুরুত্বপূর্ণ কি?" — nPr আর nCr-এর মধ্যে বাছার সবচেয়ে দ্রুত, ভরসাযোগ্য উপায়। সন্দেহ হলে, একটা ফর্মুলা বাছার আগে সরাসরি এই প্রশ্নটা নিজেকে জিজ্ঞেস করো।

পারমিউটেশন দিয়ে সিম্পল প্রোবাবিলিটি প্রবলেম। একটা পাসওয়ার্ডে 0-9 থেকে ৩টা আলাদা ডিজিট ব্যবহার হয়, অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ। র‍্যান্ডমলি বাছা একটা বৈধ পাসওয়ার্ড ঠিক "1-2-3" (এই অর্ডারেই) হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? মোট পারমিউটেশন: ${}_{10}P_3 = \frac{10!}{7!} = 720$। এর মধ্যে মাত্র একটাই ঠিক "1-2-3", তাই $P = \frac{1}{720}$।

কম্বিনেশন দিয়ে সিম্পল প্রোবাবিলিটি প্রবলেম। ৩ জন পুরুষ আর ২ জন মহিলা (মোট ৫ জন)-এর গ্রুপ থেকে র‍্যান্ডমলি ২ জনের একটা কমিটি বাছা হলো। দুইজনই মহিলা হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? ৫ জন থেকে যেকোনো ২ জন বাছার মোট উপায়: ${}_5C_2 = 10$। ২ জন মহিলা থেকে ২ জন বাছার উপায়: ${}_2C_2 = 1$। তাই $P = \frac{1}{10} = 0.1$।

১২. প্রোবাবিলিটি প্রবলেম

এই সেকশনে প্রতিটা কমন ক্যাটাগরির একটা করে প্রবলেম সমাধান করা হবে, উপরের সব সেকশনের টুল ব্যবহার করে।

বেসিক প্রোবাবিলিটি হিসাব

একটা ব্যাগে ৪টা লাল, ৩টা নীল, আর ৫টা সবুজ মার্বেল আছে (মোট ১২টা)। একটা মার্বেল র‍্যান্ডমলি টানা হলো। নীল হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত?

কয়েন টস প্রবলেম

তিনটা fair কয়েন টস করা হলো। ঠিক ২টা হেড আসার প্রোবাবিলিটি কত? স্যাম্পল স্পেসে $2^3 = 8$টা সমান সম্ভাব্য ফলাফল: $\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$। ঠিক ২টা হেড আসে $\{HHT, HTH, THH\}$-এ — ৩টা ফলাফল।

ডাইস প্রবলেম

দুইটা fair ডাইস রোল করা হলো। যোগফল ৭ হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? মোট ফলাফল: $6 \times 6 = 36$। যোগফল ৭ হয় এমন জোড়া: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — ৬টা ফলাফল।

কার্ড প্রবলেম

একটা সাধারণ ৫২ কার্ডের ডেক থেকে একটা কার্ড টানা হলো। যেকোনো স্যুটের ফেস কার্ড (Jack, Queen, King) হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? প্রতি স্যুটে ৩টা ফেস কার্ড × ৪টা স্যুট = ১২টা ফেস কার্ড।

আর্ন/বল প্রবলেম

একটা আর্নে ৫টা লাল বল আর ৭টা সাদা বল আছে। replacement ছাড়া দুইটা বল টানা হলো। দুইটাই লাল হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? সেকশন ৮-এর জেনারেল মাল্টিপ্লিকেশন রুল ব্যবহার করে:

কাউন্টিং-ভিত্তিক প্রোবাবিলিটি প্রবলেম

৬ জন পুরুষ আর ৪ জন মহিলার একটা গ্রুপ থেকে র‍্যান্ডমলি ৩ জনের একটা কমিটি বাছা হলো। কমিটিতে ঠিক ২ জন পুরুষ আর ১ জন মহিলা থাকার প্রোবাবিলিটি কত? সেকশন ১১-এর কম্বিনেশন ব্যবহার করে:

ইউনিয়ন আর ইন্টারসেকশন প্রবলেম

একটা স্ট্যান্ডার্ড ডেক থেকে টানা কার্ডটা Jack অথবা Club হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? সেকশন ৭-এর জেনারেল অ্যাডিশন রুল ব্যবহার করে, $A$ = "Jack" ($|A|=4$), $B$ = "Club" ($|B|=13$), $A \cap B$ = "Jack of Clubs" ($|A\cap B|=1$):

কমপ্লিমেন্ট-ভিত্তিক প্রবলেম

দুইটা ডাইস রোল করো। যোগফল ৭ না হওয়ার প্রোবাবিলিটি কত? সেকশন ৬-এর কমপ্লিমেন্ট রুল ব্যবহার করে, আর উপরে হিসাব করা $P(\text{যোগফল}=7) = \frac{1}{6}$ দিয়ে:

ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট প্রবলেম

একটা fair কয়েন টস করা হলো আর একই সাথে একটা fair ডাইস রোল করা হলো। হেড আর ৬ একসাথে আসার প্রোবাবিলিটি কত? এই দুইটা ইভেন্ট ইন্ডিপেন্ডেন্ট (কয়েনের ডাইসের উপর কোনো প্রভাব নেই), তাই সেকশন ৮-এর মাল্টিপ্লিকেশন রুল দিয়ে:

১৩. প্রোবাবিলিটির কমন ভুল

১৪. মেশিন লার্নিং-এর জন্য প্রোবাবিলিটি কনসেপ্ট

এই শেষ সেকশনে দেখা যাবে এই চ্যাপ্টারের সবকিছু কীভাবে মেশিন লার্নিং-এ সরাসরি কাজে লাগে — এটা পরের চ্যাপ্টার বেইজ থিওরেম-এর জন্য প্রস্তুতি, আর তার পরেও।

অনিশ্চয়তা হিসেবে প্রোবাবিলিটি

সেকশন ১-এ বলা হয়েছে, মেশিন লার্নিং মডেল সবসময় অনিশ্চয়তা নিয়েই কাজ করে — নয়েজি ডেটা, অসম্পূর্ণ তথ্য, আর ভুল হতে পারে এমন প্রেডিকশন। এই চ্যাপ্টারের প্রতিটা নিয়ম (রেঞ্জ, কমপ্লিমেন্ট, অ্যাডিশন, মাল্টিপ্লিকেশন) হলো ঠিক সেই মেকানিজম যা মডেল ভিতরে ব্যবহার করে এই অনিশ্চয়তাকে গাণিতিকভাবে কনসিসটেন্ট রাখতে।

সম্ভাব্য ফলাফল হিসেবে ইভেন্ট

একটা ক্লাসিফিকেশন প্রবলেমে, প্রতিটা সম্ভাব্য ক্লাস লেবেল (যেমন, "বিড়াল," "কুকুর," "পাখি") মূলত সব সম্ভাব্য লেবেলের একটা স্যাম্পল স্পেসের একটা ইভেন্ট। একটা মডেলের আউটপুট লেয়ার সাধারণত এই প্রতিটা ইভেন্টকে একটা করে প্রোবাবিলিটি দেয়, আর — সেকশন ৬-এর নিয়মের সাথে মিলিয়ে — এই প্রোবাবিলিটিগুলো ০ আর ১-এর মাঝে থাকতে হবে আর সব ক্লাস মিলিয়ে যোগফল ১ হতে হবে, ঠিক $P(S) = 1$-এর মতো।

অবজারভেশনের প্রোবাবিলিটি

একটা নির্দিষ্ট ডেটা পয়েন্ট দেওয়া থাকলে (একটা ইমেইল, একটা ছবি, একটা সেন্সর রিডিং), একটা মডেলের প্রায়ই দরকার হয় $P(\text{অবজারভেশন})$ বা $P(\text{অবজারভেশন} \mid \text{ক্লাস})$ — এই নির্দিষ্ট ডেটার সম্ভাবনা কতটুকু, হয় একা বা একটা নির্দিষ্ট হাইপোথিসিসের অধীনে। এটা ঠিক "এই নির্দিষ্ট কার্ডটা টানার প্রোবাবিলিটি"-র মতোই আইডিয়া, শুধু কার্ডের বদলে রিয়েল-ওয়ার্ল্ড ডেটায় প্রয়োগ করা।

জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি কনসেপ্ট

একটা ডেটা পয়েন্টে যখন অনেক ফিচার থাকে (যেমন, একটা ইমেইলে অনেক শব্দ থাকে, একটা ছবিতে অনেক পিক্সেল থাকে), মডেলদের প্রায়ই দরকার হয় সেই পুরো নির্দিষ্ট কম্বিনেশন observe করার জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি — সরাসরি সেকশন ৭ আর ৮-এর ইন্টারসেকশন আর মাল্টিপ্লিকেশন রুলের উপর ভিত্তি করে।

ML-এ ইন্ডিপেন্ডেন্স

সেকশন ৮-এর ইন্ডিপেন্ডেন্স ধারণা সরাসরি দেখা যায় Naive Bayes-এর মতো মডেলে (পরের চ্যাপ্টারে প্রিভিউ করা হবে), যেটা ধরে নেয় ফিচারগুলো একে অপর থেকে conditionally independent, যাতে অন্যথায় প্রায় অসম্ভব একটা হিসাবকে সম্ভব করা যায়। ইন্ডিপেন্ডেন্স আসলে precisely কী মানে সেটা বুঝলে, তুমি ঠিক বুঝতে পারবে এই assumption-এর ক্ষমতা আর সীমাবদ্ধতা দুটোই।

ক্লাসিফিকেশনের জন্য প্রোবাবিলিটি কেন গুরুত্বপূর্ণ

ক্লাসিফিকেশন মডেল শুধু একটা মাত্র গেস দেয় না — সাধারণত ক্লাসগুলোর উপর একটা সম্পূর্ণ প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন দেয় (যেমন, ৭০% বিড়াল, ২০% কুকুর, ১০% অন্য কিছু)। এটা একা একটা লেবেলের চেয়ে অনেক বেশি কাজের, কারণ এটা এটাও জানায় মডেল কতটা কনফিডেন্ট — যেটা ব্যবহার করে পরের সিস্টেমগুলো ঠিক করতে পারে "কনফিডেন্স ৬০%-এর নিচে হলে এই প্রেডিকশন মানুষ দিয়ে রিভিউ করাও।"

প্রোবাবিলিটি আর স্ট্যাটিস্টিক্সের সম্পর্ক

প্রোবাবিলিটি থিওরি (এই চ্যাপ্টার) বলে জগতের একটা জানা মডেল দেওয়া থাকলে ফলাফলের সম্ভাবনা কতটুকু (যেমন, "একটা fair কয়েনে পরপর ৩ বার হেড আসার চান্স কত?")। স্ট্যাটিস্টিক্স উল্টো দিক থেকে চিন্তা করে: observe করা ডেটা থেকে, আন্ডারলাইং মডেল সম্পর্কে কী অনুমান করা যায় (যেমন, "১০ বার টসে ৮ বার হেড দেখেছি, তাহলে এই কয়েনটা কি আসলেই fair?")। এই দুইটা ফিল্ড একে অপরের সাথে গভীরভাবে জড়িত, আর এই চ্যাপ্টারের টুলগুলো দুইটারই প্রিরিকুইজিট।

কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটির সাথে সম্পর্ক

এই চ্যাপ্টারের বেশ কিছু ফর্মুলা আগে থেকেই কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটি-র কাছাকাছি গিয়েছে — $P(B \mid A)$ সরাসরি এসেছিল সেকশন ৮-এর জেনারেল মাল্টিপ্লিকেশন রুলে। কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটির একটা পূর্ণাঙ্গ আলোচনা তার নিজের চ্যাপ্টারেই হওয়া উচিত, কিন্তু এখানে যে নোটেশন আর ইনটুইশন দেওয়া হলো (বিশেষত "$B$-র প্রোবাবিলিটি, ধরে নিয়ে যে $A$ ইতিমধ্যে ঘটেছে") — সেটাই সেই আলোচনার ফাউন্ডেশন হবে।

বেইজ থিওরেমের সাথে সম্পর্ক

ঠিক পরের চ্যাপ্টার, বেইজ থিওরেম, পুরোপুরি কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটি আর প্রোডাক্ট রুলের উপর তৈরি — যেটা নিজেও সেকশন ৮-এর জেনারেল মাল্টিপ্লিকেশন রুলেরই একটা রিঅ্যারেঞ্জমেন্ট ($P(A \cap B) = P(A)P(B\mid A)$)। এই চ্যাপ্টারের প্রতিটা সিম্বল, প্রতিটা নিয়ম, প্রতিটা worked-example প্যাটার্ন (স্যাম্পল স্পেস, ইভেন্ট, অ্যাডিশন আর মাল্টিপ্লিকেশন রুল, ইন্ডিপেন্ডেন্স) — সবকিছুই সরাসরি প্রস্তুতি, কীভাবে প্রমাণ পেয়ে বিশ্বাস আপডেট করতে হয় সেটা সঠিকভাবে চিন্তা করার জন্য — যেটা পরের চ্যাপ্টারের বিষয়।

চ্যাপ্টার সামারি

শেখার সুপারিশকৃত ক্রম

ইন্টারভিউ প্রশ্ন