Transformation-II

Homogeneous Coordinates & Matrix Unification (হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেট ও ম্যাট্রিক্স একত্রীকরণ)

Transformation-I অধ্যায়ে আমরা একটি অদ্ভুত গাণিতিক সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিলাম:

• Scaling এবং Rotation হলো গুণ অপারেশন: $P' = M \cdot P$ ($2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স গুণ)।
• কিন্তু Translation হলো যোগ অপারেশন: $P' = P + T$ (ভেক্টর যোগফল)।

এই অমিলের কারণে একাধিক ট্রান্সলেশন ও রোটেশনকে আমরা একটি একক $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সে গুণ করে মেলাতে পারি না। ফলে প্রতিবার অবজেক্ট সরানোর সময় গ্রাফিক্স ইঞ্জিনকে ম্যাট্রিক্স গুণ থামিয়ে ভেক্টর যোগ করতে হতো, যা রিয়েল-টাইম রেন্ডারিংয়ে প্রচুর পারফরম্যান্স অপচয় ঘটায়।

সমাধান: হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেট (Homogeneous Coordinates)

সব ধরনের রূপান্তরকে একটি একক ম্যাট্রিক্স গুণন কাঠামোর আওতায় আনার জন্য কম্পিউটার গ্রাফিক্স দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় তল $(x, y)$-কে ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেস বা Homogeneous Coordinates-এ প্রকাশ করে:

$(x, y) \longrightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{বা} \quad \begin{bmatrix} x \cdot h \\ y \cdot h \\ h \end{bmatrix} \quad (h \neq 0)$

স্ট্যান্ডার্ড ২ডি অ্যাফাইন (Affine) রূপান্তরের ক্ষেত্রে স্কেল প্যারামিটার হিসেবে $h = 1$ ধরা হয়। অর্থাৎ যে কোনো ২ডি পয়েন্ট $(x, y)$-কে ৩-উপাদান বিশিষ্ট কলাম ভেক্টর $[x, y, 1]^T$ হিসেবে লেখা হয়।

স্ট্যান্ডার্ড $3 \times 3$ অ্যাফাইন রূপান্তর ম্যাট্রিক্স

হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে মৌলিক রূপান্তরগুলোর $3 \times 3$ রূপ:

১. ট্রান্সলেশন ম্যাট্রিক্স $T(d_x, d_y)$

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & d_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণ করলে আমরা সরাসরি পাই: $x' = 1 \cdot x + 0 \cdot y + d_x \cdot 1 = x + d_x$ $y' = 0 \cdot x + 1 \cdot y + d_y \cdot 1 = y + d_y$ $1 = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot 1 = 1$

২. স্কেলিং ম্যাট্রিক্স $S(S_x, S_y)$

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

৩. ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স $R(\theta)$

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

---

2D Rotation: Derivation & Origin-Based Trajectory (২ডি ঘূর্ণন ও গাণিতিক প্রতিপাদন)

২ডি ঘূর্ণন (Rotation) হলো কোনো রেফারেন্স বিন্দুর সাপেক্ষে নির্দিষ্ট কোণে ($\theta$) অবজেক্টকে একটি বৃত্তাকার পথে ঘোরানো। কম্পিউটার গ্রাফিক্সের স্ট্যান্ডার্ড নিয়ম অনুযায়ী:

• ধনাত্মক কোণ $\theta > 0$: ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন (Counter-Clockwise / CCW)।
• ঋণাত্মক কোণ $\theta < 0$: ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন (Clockwise / CW)।

পোলার ত্রিকোণমিতি থেকে প্রতিপাদন

মনে করি মূলবিন্দু থেকে $P(x, y)$ বিন্দুর ব্যাসার্ধ দূরত্ব $r$ এবং আদি কোণ $\phi$:

$x = r \cos\phi, \quad y = r \sin\phi$

বিন্দুটিকে যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ কোণে ঘোরানো হয়, তবে নতুন মোট কোণ হবে $(\phi + \theta)$। ফলে নতুন স্থানাঙ্ক $P'(x', y')$ দাঁড়ায়:

$x' = r \cos(\phi + \theta)$

$y' = r \sin(\phi + \theta)$

ত্রিকোণমিতির যৌগিক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে:

• $\cos(\phi + \theta) = \cos\phi \cos\theta - \sin\phi \sin\theta$
• $\sin(\phi + \theta) = \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta$

এখানে $r \cos\phi = x$ এবং $r \sin\phi = y$ বসিয়ে পাই:

$x' = (r \cos\phi) \cos\theta - (r \sin\phi) \sin\theta = x \cos\theta - y \sin\theta$

$y' = (r \cos\phi) \sin\theta + (r \sin\phi) \cos\theta = x \sin\theta + y \cos\theta$

---

General Pivot-Point Rotation & Fixed-Point Scaling (নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে ঘূর্ণন ও স্কেলিং)

১. মূলবিন্দুর সাপেক্ষে ঘূর্ণনের সীমাবদ্ধতা

যদি আপনি স্ট্যান্ডার্ড রোটেশন সূত্র সরাসরি প্রয়োগ করেন, তবে ঘূর্ণনটি ঘটবে মূলবিন্দু $(0, 0)$-কে কেন্দ্র করে।

যেমন, স্ক্রিনের $(5, 8)$ অবস্থানে থাকা একটি ক্যারেক্টারকে ঘোরাতে চাইলে সে নিজের জায়গায় স্থির থেকে না ঘুরে $(0, 0)$-কে কেন্দ্র করে বিশাল এক বৃত্তাকার পথে কক্ষপথের মতো ঘুরে স্ক্রিনের বাইরে চলে যাবে!

নিজের স্থানে স্থির রেখে যে কোনো পিভট পয়েন্ট বা কেন্দ্র $(x_r, y_r)$-এর সাপেক্ষে কোনো অবজেক্ট ঘোরাতে ৩টি ধাপ অনুসরণ করা হয়:

২. পিভট পয়েন্ট রোটেশন ম্যাট্রিক্স প্রতিপাদন

ডান থেকে বামে ম্যাট্রিক্স গুণনের ধারাবাহিক রূপ:

$M_{\text{pivot}} = T(x_r, y_r) \cdot R(\theta) \cdot T(-x_r, -y_r)$

তিনটি $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স গুণ করলে দাঁড়ায়:

$M_{\text{pivot}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x_r \\ 0 & 1 & y_r \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_r \\ 0 & 1 & -y_r \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$M_{\text{pivot}} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & x_r(1 - \cos\theta) + y_r \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & y_r(1 - \cos\theta) - x_r \sin\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

৩. ফিক্সড-পয়েন্ট স্কেলিং (Fixed-Point Scaling)

একইভাবে কোনো নির্দিষ্ট ফিক্সড পয়েন্ট $(x_f, y_f)$-কে স্থির রেখে অবজেক্ট বড় বা ছোট করার সমীকরণ:

$M_{\text{fixed-scale}} = T(x_f, y_f) \cdot S(S_x, S_y) \cdot T(-x_f, -y_f)$

$M_{\text{fixed-scale}} = \begin{bmatrix} S_x & 0 & x_f(1 - S_x) \\ 0 & S_y & y_f(1 - S_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

---

2D Reflection (প্রতিফলন বা মিররিং)

প্রতিফলন (Reflection) হলো কোনো নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে অবজেক্টের ১৮০° উল্টে যাওয়ার বা আয়না প্রতিবিম্ব তৈরির প্রক্রিয়া:

---

2D Shearing (মোচড় / শিয়ারিং)

শিয়ারিং (Shearing) অপারেশন কোনো অবজেক্টের ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রেখে তার অভ্যন্তরীণ সমান্তরাল তলগুলোকে কোণাকুণি পিছলে দেয়। ফলে আয়তক্ষেত্রটি সামান্তরিকে (Parallelogram) রূপান্তরিত হয়।

১. X-দিক বরাবর শিয়ারিং

$y$-স্থানাঙ্কের সমানুপাতিক হারে $x$-স্থানাঙ্ক ডানে বা বায়ে পিছলে যায়:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & sh_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} x' = x + sh_x \cdot y \\ y' = y \end{cases}$

২. Y-দিক বরাবর শিয়ারিং

$x$-স্থানাঙ্কের সমানুপাতিক হারে $y$-স্থানাঙ্ক উপরে বা নিচে পিছলে যায়:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ sh_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} x' = x \\ y' = y + sh_y \cdot x \end{cases}$

---

Composite Transformations & Matrix Multiplication (যৌগিক রূপান্তর ও ম্যাট্রিক্স গুণন)

যখন একের পর এক ধারাবাহিক রূপান্তর $M_1, M_2, \dots, M_n$ প্রয়োগ করা হয়, তখন প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে গুণ না করে আগে থেকেই সব ম্যাট্রিক্স গুণ করে একটি একক Composite Transformation Matrix $M_{\text{net}}$ তৈরি করা হয়:

$P' = M_n \cdot M_{n-1} \cdots M_2 \cdot M_1 \cdot P$

$M_{\text{net}} = M_n \cdot M_{n-1} \cdots M_2 \cdot M_1$

গ্রাফিক্স কার্ডে কনক্যাটিনেশন কেন সুপার-ফাস্ট?

ধরুন একটি ৩ডি মডেলে ৫০,০০০ শীর্ষবিন্দু (Vertices) রয়েছে। যদি ৫টি রূপান্তর আলাদাভাবে প্রতি পয়েন্টে করতে হয়:

• $৫০,০০০ \times ৫ = ২৫০,০০০$ বার ম্যাট্রিক্স গুণ করতে হতো!

কিন্তু GPU আগে থেকেই ৫টি রূপান্তর ম্যাট্রিক্সকে একবার গুণ করে একটি একক $M_{\text{net}}$ বানিয়ে নেয়। ফলে ৫০,০০০ পয়েন্টের ওপর মাত্র ৫০,০০০ বারই গুণ করতে হয়—যার ফলে পারফরম্যান্স ৫ গুণ বৃদ্ধি পায়!

---

Inverse Transformations (বিপরীত রূপান্তর)

প্রতিটি রূপান্তরের একটি সুনির্দিষ্ট বিপরীত ম্যাট্রিক্স ($M^{-1}$) থাকে, যা প্রয়োগ করলে অবজেক্ট পুনরায় আগের অবস্থায় ফিরে আসে ($M \cdot M^{-1} = I$):

যৌগিক রূপান্তরের ইনভার্স

একাধিক ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ইনভার্স বের করার সময় ক্রম উল্টে যায়:

$(M_1 \cdot M_2 \cdot M_3)^{-1} = M_3^{-1} \cdot M_2^{-1} \cdot M_1^{-1}$

---

Interactive 3×3 Affine Transformation Lab (ইন্টারেক্টিভ ল্যাব)

নিচের সিমুলেটরে পিভট পয়েন্ট রোটেশন, ফিক্সড-পয়েন্ট স্কেলিং, বিভিন্ন অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন এবং শিয়ারিং টেস্ট করুন এবং লাইভ $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তন লক্ষ্য করুন:

---

University Exam Questions & Solutions (বিশ্ববিদ্যালয়ের সম্ভাব্য প্রশ্ন ও পূর্ণাঙ্গ সমাধান)

কম্পিউটার গ্রাফিক্স কোর্সের ফাইনাল পরীক্ষায় 2D Transformation-II (Homogeneous Coordinates, Arbitrary Pivot Rotation, Arbitrary Line Reflection, Shearing, Composite Matrix) থেকে সর্বাধিক আসা প্রশ্ন ও পূর্ণাঙ্গ গাণিতিক সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

১. থিওরিটিক্যাল প্রশ্ন ও উত্তর (Theoretical Questions & Answers)

---

ধাপে ধাপে পরীক্ষার সমাধান:

১ম অংশ: উইন্ডো থেকে ভিউপোর্ট রূপান্তরের ধারণা [২ নম্বর]

• ওয়ার্ল্ড উইন্ডো (World Window): $(xw_{\min}, yw_{\min})$ থেকে $(xw_{\max}, yw_{\max})$ পর্যন্ত বিস্তৃত, যার প্রস্থ $W_w = xw_{\max} - xw_{\min}$ এবং উচ্চতা $H_w = yw_{\max} - yw_{\min}$।
• ডিসপ্লে ভিউপোর্ট (Display Viewport): স্ক্রিনের ওপর $(xv_{\min}, yv_{\min})$ থেকে $(xv_{\max}, yv_{\max})$ পর্যন্ত বিস্তৃত, যার প্রস্থ $W_v = xv_{\max} - xv_{\min}$ এবং উচ্চতা $H_v = yv_{\max} - yv_{\min}$।

স্কেলিং ফ্যাক্টর (Scaling Factors): $s_x = \frac{W_v}{W_w} = \frac{xv_{\max} - xv_{\min}}{xw_{\max} - xw_{\min}}, \qquad s_y = \frac{H_v}{H_w} = \frac{yv_{\max} - yv_{\min}}{yw_{\max} - yw_{\min}}$

---

২য় অংশ: সাধারণ যৌগিক ম্যাট্রিক্স প্রতিপাদন [৫ নম্বর]

ওয়ার্ল্ড উইন্ডোর যে কোনো বিন্দু $(x_w, y_w)$-কে ভিউপোর্টের বিন্দু $(x_v, y_v)$-এ ম্যাপ করতে ৩টি ধারাবাহিক অ্যাফাইন রূপান্তর সম্পন্ন করতে হয়:

১. ধাপ ১: উইন্ডোর নিচের বাম কোণ $(xw_{\min}, yw_{\min})$-কে মূলবিন্দু $(0, 0)$-তে স্থানান্তর (Translate): $T_1 = T(-xw_{\min}, -yw_{\min}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -xw_{\min} \\ 0 & 1 & -yw_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

২. ধাপ ২: উইন্ডোর আকারকে ভিউপোর্টের আকারের সমান করতে স্কেলিং (Scale): $S = S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

৩. ধাপ ৩: মূলবিন্দু থেকে ভিউপোর্টের নিচের বাম কোণ $(xv_{\min}, yv_{\min})$-এ স্থানান্তর (Translate): $T_2 = T(xv_{\min}, yv_{\min}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & xv_{\min} \\ 0 & 1 & yv_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

সাধারণ যৌগিক রূপান্তর ম্যাট্রিক্স ($M_{w \to v}$): $M_{w \to v} = T(xv_{\min}, yv_{\min}) \cdot S(s_x, s_y) \cdot T(-xw_{\min}, -yw_{\min})$

$M_{w \to v} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & xv_{\min} \\ 0 & 1 & yv_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -xw_{\min} \\ 0 & 1 & -yw_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$

$M_{w \to v} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & xv_{\min} \\ 0 & 1 & yv_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x & 0 & -s_x \cdot xw_{\min} \\ 0 & s_y & -s_y \cdot yw_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{M_{w \to v} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & -s_x \cdot xw_{\min} + xv_{\min} \\ 0 & s_y & -s_y \cdot yw_{\min} + yv_{\min} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$

বিন্দু রূপান্তর সমীকরণ: $x_v = s_x \cdot (x_w - xw_{\min}) + xv_{\min}$ $y_v = s_y \cdot (y_w - yw_{\min}) + yv_{\min}$

---

২. গাণিতিক সমস্যা ও পূর্ণাঙ্গ সমাধান (Mathematical Problems with Step-by-Step Solutions)

সমস্যা ১: নির্দিষ্ট পিভট বিন্দুর সাপেক্ষে ত্রিভুজের ঘূর্ণন

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $A(1, 1), B(4, 1), C(2, 3)$। ত্রিভুজটিকে পিভট বিন্দু $P_r(2, 2)$-এর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta = 90^\circ$ কোণে ঘোরাও।

সমাধান:

• প্রদত্ত: পিভট $x_r = 2, y_r = 2$ এবং $\theta = 90^\circ$ ($\cos 90^\circ = 0, \sin 90^\circ = 1$)

• যৌগিক ম্যাট্রিক্স গঠন: $M = T(2, 2) \cdot R(90^\circ) \cdot T(-2, -2)$ $M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• শীর্ষবিন্দুগুলোতে ম্যাট্রিক্স গুণ:

  • $A(1, 1)$: $\begin{bmatrix} x'_A \\ y'_A \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 4 \\ 1 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \implies A'(3, 3)$
  • $B(4, 1)$: $\begin{bmatrix} x'_B \\ y'_B \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 4 \\ 4 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} \implies B'(3, 6)$
  • $C(2, 3)$: $\begin{bmatrix} x'_C \\ y'_C \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 + 4 \\ 2 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \implies C'(1, 4)$

উত্তর: রূপান্তরিত শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A'(3, 3), B'(3, 6), C'(1, 4)$।

---

সমস্যা ২: অবাধ সরলরেখা $y = x + 2$-এর সাপেক্ষে প্রতিফলন

প্রশ্ন: $A(2, 4), B(4, 6), C(2, 6)$ শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজটিকে $y = x + 2$ সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন করো।

সমাধান:

• প্রদত্ত রেখা: $y = 1 \cdot x + 2 \implies m = 1, c = 2$।
• ঢাল $m = \tan\theta = 1 \implies \theta = 45^\circ$ ($\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$)।

ধাপসমূহের ম্যাট্রিক্স রূপ:

1. $T(0, -2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
2. $R(-45^\circ) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
3. $\text{Ref}_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
4. $R(45^\circ) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
5. $T(0, 2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

যৌগিক রূপান্তর ম্যাট্রিক্স গুণ করলে পাওয়া যায়: $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (অর্থাৎ $x' = y - 2$ এবং $y' = x + 2$)

শীর্ষবিন্দু রূপান্তর:

• $A(2, 4)$: $x'_A = 4 - 2 = 2, \quad y'_A = 2 + 2 = 4 \implies A'(2, 4)$ (রেখার ওপর থাকায় স্থির থাকে)
• $B(4, 6)$: $x'_B = 6 - 2 = 4, \quad y'_B = 4 + 2 = 6 \implies B'(4, 6)$ (রেখার ওপর থাকায় স্থির থাকে)
• $C(2, 6)$: $x'_C = 6 - 2 = 4, \quad y'_C = 2 + 2 = 4 \implies C'(4, 4)$

উত্তর: প্রতিফলিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A'(2, 4), B'(4, 6), C'(4, 4)$।

---

সমস্যা ৩: বর্গক্ষেত্রের ওপর শিয়ারিং (Shearing)

প্রশ্ন: $A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2)$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ওপর $sh_x = 2$ দ্বারা X-শিয়ারিং প্রয়োগ করো।

সমাধান:

• X-Shear সমীকরণ: $x' = x + sh_x \cdot y, \quad y' = y$
• $A(0, 0) \longrightarrow A'(0 + 2(0), 0) = A'(0, 0)$
• $B(2, 0) \longrightarrow B'(2 + 2(0), 0) = B'(2, 0)$
• $C(2, 2) \longrightarrow C'(2 + 2(2), 2) = C'(6, 2)$
• $D(0, 2) \longrightarrow D'(0 + 2(2), 2) = D'(4, 2)$

ফলাফল: বর্গক্ষেত্রটি পরিবর্তিত হয়ে সামান্তরিকে (Parallelogram) রূপ নিল, কিন্তু ভূমি ও উচ্চতা একই থাকায় ক্ষেত্রফল $2 \times 2 = 4$ বর্গ একক অপরিবর্তিত রইল।

---

সমস্যা ৪: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দুর ঘূর্ণন [১০ম ও ১১তম ব্যাচ ফাইনাল পরীক্ষা (10th & 11th Batch)]

সমাধান:

• ঘূর্ণনের সংজ্ঞা: ঘূর্ণন (Rotation) হলো একটি রিজিড-বডি জ্যামিতিক রূপান্তর, যার মাধ্যমে নির্দিষ্ট পিভট বিন্দু (বা মূলবিন্দু $(0, 0)$)-এর সাপেক্ষে কোনো অবজেক্টের সকল বিন্দুকে বৃত্তাকার পথে নির্দিষ্ট কৌণিক মানে ($\theta$) ঘোরানো হয়।
• প্রদত্ত মান: বিন্দু $P = (4, 2) \implies x = 4, y = 2$; কোণ $\theta = 90^\circ$ (CCW); ঘূর্ণন কেন্দ্র $= (0, 0)$।
• ত্রিকোণমিতিক মান: $\cos(90^\circ) = 0, \; \sin(90^\circ) = 1$।
• ঘূর্ণন সমীকরণ: $x' = x \cos(90^\circ) - y \sin(90^\circ) = 4(0) - 2(1) = -2$ $y' = x \sin(90^\circ) + y \cos(90^\circ) = 4(1) + 2(0) = 4$
• হোমোজেনিয়াস ম্যাট্রিক্স রূপ ($৩ \times ৩$): $\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ & 0 \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

উত্তর: রূপান্তরিত নতুন বিন্দুটি হলো $\mathbf{P'(-2, 4)}$।

---

সমস্যা ৫: বর্গক্ষেত্রের ওপর যৌগিক রূপান্তর (স্কেলিং, ৪০° ঘূর্ণন, ট্রান্সলেশন) [১১তম ব্যাচ ফাইনাল পরীক্ষা (11th Batch)]

ধাপে ধাপে পরীক্ষার সমাধান:

১ম অংশ: হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেটের সুবিধা [১ নম্বর]

• রূপান্তরের একীকরণ (Unification): সাধারণ কার্টেসিয়ান তলে স্কেলিং, ঘূর্ণন, প্রতিফলন ইত্যাদি ম্যাট্রিক্স গুণন হলেও ট্রান্সলেশন হলো ভেক্টর যোগ ($P' = P + T$)। একটি অতিরিক্ত ডামি মাত্রা ($w = 1$) যোগ করার মাধ্যমে ট্রান্সলেশনকেও $৩ \times ৩$ ম্যাট্রিক্স গুণনে রূপান্তর করা যায়।
• ম্যাট্রিক্স কনক্যাটেনেশন (Matrix Concatenation): একাধিক রূপান্তরকে আগে থেকেই গুণ করে একটিমাত্র সামগ্রিক কম্পোজিট ম্যাট্রিক্সে ($M_{\text{composite}} = T \cdot R \cdot S$) পরিণত করা যায়। ফলে $N$ সংখ্যক শীর্ষবিন্দুর ওপর আলাদা আলাদা রূপান্তর চালানোর বদলে মাত্র একটি ম্যাট্রিক্স গুণন করলেই চলে, যা গ্রাফিক্স পাইপলাইনের কম্পিউটেশন ব্যাপকভাবে কমিয়ে দেয়।

---

২য় অংশ: পৃথক ও যৌগিক ম্যাট্রিক্স গঠন [২ নম্বর]

১. প্রদত্ত উপাত্ত ও ত্রিকোণমিতিক মান:

• স্কেলিং ফ্যাক্টর: $s_x = 5, \; s_y = 3$
• ঘূর্ণন কোণ: $\theta = 40^\circ$ (ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক - CCW) $\cos 40^\circ \approx 0.7660, \qquad \sin 40^\circ \approx 0.6428$
• ট্রান্সলেশন সরণ: $t_x = 3, \; t_y = 2$
• বর্গক্ষেত্রের ৪টি শীর্ষবিন্দু: $A(0, 0), \; B(2, 0), \; C(2, 2), \; D(0, 2)$

২. পৃথক হোমোজেনিয়াস ম্যাট্রিক্সসমূহ ($৩ \times ৩$):

• স্কেলিং ম্যাট্রিক্স $S$: $S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স $R$: $R = \begin{bmatrix} \cos 40^\circ & -\sin 40^\circ & 0 \\ \sin 40^\circ & \cos 40^\circ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7660 & -0.6428 & 0 \\ 0.6428 & 0.7660 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• স্থানান্তর (ট্রান্সলেশন) ম্যাট্রিক্স $T$: $T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

৩. সামগ্রিক যৌগিক ম্যাট্রিক্স ($M_{\text{composite}} = T \cdot R \cdot S$): প্রথমে $R \cdot S$ গুণ করি: $R \cdot S = \begin{bmatrix} 0.7660 & -0.6428 & 0 \\ 0.6428 & 0.7660 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5(0.7660) & 3(-0.6428) & 0 \\ 5(0.6428) & 3(0.7660) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 0 \\ 3.2139 & 2.2981 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

এখন $T \cdot (R \cdot S)$ গুণ করি: $M_{\text{composite}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 0 \\ 3.2139 & 2.2981 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{\begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 3 \\ 3.2139 & 2.2981 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$

---

৩য় অংশ: বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুতে রূপান্তর প্রয়োগ [২ + ২ = ৪ নম্বর]

প্রতিটি শীর্ষবিন্দু $P$ এর জন্য $P' = M_{\text{composite}} \cdot P$:

• ১. শীর্ষবিন্দু $A(0, 0)$: $\begin{bmatrix} x'_A \\ y'_A \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 3 \\ 3.2139 & 2.2981 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{A'(3, 2)}$

• ২. শীর্ষবিন্দু $B(2, 0)$: $\begin{bmatrix} x'_B \\ y'_B \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 3 \\ 3.2139 & 2.2981 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(3.8302) + 3 \\ 2(3.2139) + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7.6604 + 3 \\ 6.4278 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10.6604 \\ 8.4278 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{B'(10.66, 8.43)}$

• ৩. শীর্ষবিন্দু $C(2, 2)$: $\begin{bmatrix} x'_C \\ y'_C \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 3 \\ 3.2139 & 2.2981 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(3.8302) + 2(-1.9284) + 3 \\ 2(3.2139) + 2(2.2981) + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7.6604 - 3.8568 + 3 \\ 6.4278 + 4.5962 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6.8036 \\ 13.0240 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{C'(6.80, 13.02)}$

• ৪. শীর্ষবিন্দু $D(0, 2)$: $\begin{bmatrix} x'_D \\ y'_D \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.8302 & -1.9284 & 3 \\ 3.2139 & 2.2981 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-1.9284) + 3 \\ 2(2.2981) + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3.8568 + 3 \\ 4.5962 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.8568 \\ 6.5962 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{D'(-0.86, 6.60)}$

প্রতিটি ধাপের পরিবর্তিত স্থানাঙ্ক তালিকা:

চূড়ান্ত রূপান্তরিত বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুসমূহ: $\mathbf{A'(3, 2), \quad B'(10.66, 8.43), \quad C'(6.80, 13.02), \quad D'(-0.86, 6.60)}$

---

৩. অনুশীলন সমস্যা ও পূর্ণাঙ্গ সমাধান (Practice Problems with Step-by-Step Solutions)

অনুশীলন ১: পিভট বিন্দুতে ১৮০° ঘূর্ণন

প্রশ্ন: বিন্দু $P(4, 3)$-কে পিভট বিন্দু $(1, 1)$-এর সাপেক্ষে $180^\circ$ কোণে ঘোরাও।

সমাধান:

• $\theta = 180^\circ \implies \cos 180^\circ = -1, \sin 180^\circ = 0$
• সূত্র: $x' = x_r + (x - x_r)\cos\theta - (y - y_r)\sin\theta = 1 + (4 - 1)(-1) - 0 = 1 - 3 = -2$
• $y' = y_r + (x - x_r)\sin\theta + (y - y_r)\cos\theta = 1 + 0 + (3 - 1)(-1) = 1 - 2 = -1$
• উত্তর: $P'(-2, -1)$।

---

অনুশীলন ২: $y = x$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন

প্রশ্ন: ত্রিভুজ $A(1, 2), B(3, 1), C(2, 4)$-কে $y = x$ সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন করো।

সমাধান:

• $y = x$ সরলরেখার প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স হলো $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, অর্থাৎ $x' = y$ এবং $y' = x$।
• $A'(2, 1)$
• $B'(1, 3)$
• $C'(4, 2)$

---

অনুশীলন ৩: যৌগিক ম্যাট্রিক্স ও এর ইনভার্স নির্ণয়

প্রশ্ন: $M_1 = T(3, 2)$ এবং $M_2 = R(90^\circ)$ হলে $M = M_1 \cdot M_2$ এবং এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $M^{-1}$ বের করো।

সমাধান:

• $M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• $M^{-1} = M_2^{-1} \cdot M_1^{-1} = R(-90^\circ) \cdot T(-3, -2)$ $M^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

---

Test Your Understanding (নিজের দক্ষতা যাচাই করো)

---

Summary & What's Next (সারসংক্ষেপ ও পরবর্তী অধ্যায়)