2D Reflection

2D প্রতিফলন (2D Reflection) কী?

কম্পিউটার গ্রাফিক্সে 2D প্রতিফলন (2D Reflection) হলো একটি জ্যামিতিক রূপান্তর যা কোনো বস্তুর দর্পণ প্রতিবিম্ব (Mirror Image) তৈরি করে। এটি একটি নির্দিষ্ট রেখাকে কেন্দ্র করে বস্তুর প্রতিটি বিন্দু $P(x, y)$-কে নতুন বিন্দু $P'(x', y')$-তে রূপান্তরিত করে, এমনভাবে যে প্রতিফলন অক্ষটি $PP'$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক (Perpendicular Bisector)।

প্রতিফলনও একটি আইসোমেট্রি (Isometry) — ট্রান্সলেশন ও ঘূর্ণনের মতো এটি দূরত্ব, অভ্যন্তরীণ কোণ, পরিধি ও ক্ষেত্রফল অক্ষুণ্ণ রাখে। তবে ঘূর্ণন থেকে এর গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হলো, প্রতিফলন বস্তুর দিকবিন্যাস (Orientation) উল্টে দেয়:

• ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (CCW) আঁকা ত্রিভুজ প্রতিফলনের পর ঘড়ির কাঁটার দিকে (CW) হয়ে যায়।
• $\det(\mathbf{M}_{reflect}) = -1$ — এই ঋণাত্মক নির্ণায়কটি দিকবিন্যাস বিপরীতকরণের বীজগাণিতিক সংকেত।
• একই অক্ষে দুইবার প্রতিফলন করলে বস্তু আদি অবস্থানে ফিরে আসে: $\mathbf{M}^2 = \mathbf{I}$ (self-inverse)।

$P(x, y) \xrightarrow{\quad \mathbf{M}_{reflect} \quad} P'(x', y')$

সমস্ত প্রতিফলনের জ্যামিতিক অক্ষুণ্ণ রাশি:

• $PP'$-এর দৈর্ঘ্য = প্রতিফলন অক্ষ থেকে $P$-এর লম্ব দূরত্বের দ্বিগুণ।
• $PP'$-এর মধ্যবিন্দু প্রতিফলন রেখার উপর থাকে।
• ক্ষেত্রফল, পরিধি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য সংরক্ষিত থাকে; দিকবিন্যাস উল্টে যায়।

---

---

পাঁচটি প্রমাণ প্রতিফলন ক্ষেত্র

ক্ষেত্র ১: X-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন

দর্পণ রেখা হলো $x$-অক্ষ ($y = 0$)। $x$-স্থানাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে; $y$-স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হয়:

$x' = x, \quad y' = -y$

সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{x\text{-অক্ষ}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি: প্রতিটি বিন্দু উল্লম্বভাবে "উল্টে" যায়। $x$-অক্ষের উপরের একটি পাখি নিচে তার প্রতিফলন হিসেবে দেখা যায়, একই অনুভূমিক অবস্থানে।

---

ক্ষেত্র ২: Y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন

দর্পণ রেখা হলো $y$-অক্ষ ($x = 0$)। $y$-স্থানাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে; $x$-স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হয়:

$x' = -x, \quad y' = y$

সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{y\text{-অক্ষ}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

---

ক্ষেত্র ৩: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিফলন

উভয় স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হয়। এটি প্রথমে $x$-অক্ষ এবং তারপর $y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলনের সমতুল্য:

$x' = -x, \quad y' = -y$

সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{মূলবিন্দু} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

---

ক্ষেত্র ৪: y = x রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন

দর্পণ রেখা হলো মূল কর্ণ ($y = x$)। স্থানাঙ্ক পরস্পর অদলবদল হয়:

$x' = y, \quad y' = x$

সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{y=x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি: $(3, 7)$-কে $y = x$-এ প্রতিফলিত করলে $(7, 3)$ পাওয়া যায়। এই অপারেশনটিই স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে একটি ফাংশনকে তার বিপরীত ফাংশনে রূপান্তরিত করে।

---

ক্ষেত্র ৫: y = −x রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন

দর্পণ রেখা হলো বিপরীত কর্ণ ($y = -x$)। ঋণাত্মক করে অদলবদল:

$x' = -y, \quad y' = -x$

সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{y=-x} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

---

---

সারসংক্ষেপ ম্যাট্রিক্স সারণি

---

স্বেচ্ছা রেখা y = mx + c-এর সাপেক্ষে প্রতিফলন

চার ধাপের যৌগিক পাইপলাইন

মূলবিন্দু দিয়ে না-যাওয়া দর্পণ রেখা $y = mx + c$-এর ক্ষেত্রে, চারটি মৌলিক রূপান্তরের যৌগিক প্রয়োগ করতে হয়:

1. ট্রান্সলেট করে দর্পণ রেখাকে মূলবিন্দু দিয়ে নিয়ে যাও: $y$-দিকে $-c$ সরাও।
2. ঘূর্ণিত করো যাতে রেখাটি X-অক্ষের সাথে সমান্তরাল হয়: $\mathbf{R}(-\alpha)$, যেখানে $\alpha = \arctan(m)$।
3. প্রতিফলিত করো X-অক্ষের সাপেক্ষে: $\mathbf{M}_{x\text{-অক্ষ}}$।
4. ঘূর্ণন ও ট্রান্সলেশন পূর্বাবস্থায় আনো: $\mathbf{R}(\alpha)$, তারপর $\mathbf{T}(0, c)$।

$\mathbf{M}_{y=mx+c} = \mathbf{T}(0,c) \cdot \mathbf{R}(\alpha) \cdot \mathbf{M}_{x\text{-অক্ষ}} \cdot \mathbf{R}(-\alpha) \cdot \mathbf{T}(0,-c)$

মূলবিন্দু দিয়ে যাওয়া রেখা y = mx-এর সরাসরি সূত্র

যখন $c = 0$ (দর্পণ রেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায়), বীজগাণিতিক সরলীকরণের পর:

$x' = \frac{x(1 - m^2) + 2my}{1 + m^2}, \quad y' = \frac{2mx - y(1 - m^2)}{1 + m^2}$

$y = mx$ ($c = 0$)-এর সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স:

$\mathbf{M}_{y=mx} = \frac{1}{1+m^2}\begin{bmatrix} 1-m^2 & 2m & 0 \\ 2m & m^2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+m^2 \end{bmatrix}$

বিশেষ ক্ষেত্রের যাচাই:

---

প্রতিফলনের বৈশিষ্ট্য

নির্ণায়ক ও দিকবিন্যাস

$\det(\mathbf{M}_{reflect}) = -1$

সমস্ত একক প্রতিফলনের জন্য: $\det = -1$। এটি দিকবিন্যাস বিপরীতকরণের বীজগাণিতিক সংকেত।

দুটি প্রতিফলনের ফলাফল: $\det(\mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{M}_1) = (-1)(-1) = +1$

দুটি ধারাবাহিক প্রতিফলন দিকবিন্যাস পুনরুদ্ধার করে এবং একটি ঘূর্ণনের সমতুল্য হয়।

স্ব-বিপরীত (Self-Inverse) ধর্ম

$\mathbf{M}_{reflect}^2 = \mathbf{I}$

একই অক্ষে দুইবার প্রতিফলিত করলে প্রতিটি বিন্দু তার আদি অবস্থানে ফিরে আসে। যেকোনো বিশুদ্ধ প্রতিফলনের জন্য: $\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{M}$।

যৌগিক নিয়ম: দুটি প্রতিফলন = একটি ঘূর্ণন

$\phi$ কোণে পৃথক দুটি দর্পণ রেখার সাপেক্ষে দুটি প্রতিফলনের যৌগিক ফলাফল হলো তাদের ছেদবিন্দুকে কেন্দ্র করে $2\phi$ কোণের একটি ঘূর্ণন।

---

ইন্টারঅ্যাক্টিভ 2D রূপান্তর সিমুলেটর

---

বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান (১০টি ভিন্ন অ্যাঙ্গেল)

---

অ্যাঙ্গেল ১: স্থানাঙ্ক অক্ষের সাপেক্ষে মূল প্রতিফলন

পূর্ব-গণনা: $|OP| = \sqrt{9 + 16} = 5$

(ক) X-অক্ষ: $x' = 3$, $y' = -(-4) = 4$ $\mathbf{P_a' = (3, 4)} \quad |OP_a'| = \sqrt{9 + 16} = 5 \quad \checkmark$

(খ) Y-অক্ষ: $x' = -3$, $y' = -4$ $\mathbf{P_b' = (-3, -4)} \quad |OP_b'| = \sqrt{9 + 16} = 5 \quad \checkmark$

(গ) মূলবিন্দু: $x' = -3$, $y' = 4$ $\mathbf{P_c' = (-3, 4)} \quad |OP_c'| = \sqrt{9 + 16} = 5 \quad \checkmark$

তিনটি ক্ষেত্রেই মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব অক্ষুণ্ণ। লক্ষ করো $P_b'$ ও $P_c'$ আলাদা — মূলবিন্দু প্রতিফলন উভয় স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক করে, শুধু একটি নয়।

---

অ্যাঙ্গেল ২: সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স গুণনের মাধ্যমে ত্রিভুজ প্রতিফলন

(ক) ভার্টেক্স ম্যাট্রিক্স ও গুণন:

$[P] = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{M}_{y\text{-অক্ষ}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$[P'] = \mathbf{M}_{y\text{-অক্ষ}} \cdot [P] = \begin{bmatrix} -1 & -4 & -2 \\ 2 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{A' = (-1, 2)}, \quad \mathbf{B' = (-4, 2)}, \quad \mathbf{C' = (-2, 5)}$

(খ) বাহুর দৈর্ঘ্য যাচাই: $|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + 0^2} = 3$ $|A'B'| = \sqrt{(-4-(-1))^2 + 0^2} = 3 \quad \checkmark$

(গ) দিকবিন্যাস পরিবর্তন: আদি $A \to B \to C$: ডানে যায়, তারপর উপরে-বামে → CCW। প্রতিফলিত $A' \to B' \to C'$: বামে যায়, তারপর উপরে-ডানে → CW। $\det(\mathbf{M}_{y\text{-অক্ষ}}) = -1$ হওয়ায় দিকবিন্যাস উল্টেছে।

---

অ্যাঙ্গেল ৩: y = x এবং y = −x-এর সাপেক্ষে প্রতিফলন

(ক) $y = x$-এ প্রতিফলন (স্থানাঙ্ক অদলবদল): $A'(1, 2), \quad B'(1, 5), \quad C'(3, 5), \quad D'(3, 2)$

(খ) $y = -x$-এ প্রতিফলন ($x' = -y, y' = -x$): $A''(-1, -2), \quad B''(-1, -5), \quad C''(-3, -5), \quad D''(-3, -2)$

(গ) $180°$ ঘূর্ণনের সমতুল্যতা প্রমাণ:

$A(2, 1)$ থেকে শুরু করি:

• $y=x$-এ প্রতিফলন: $(1, 2)$
• $y=-x$-এ প্রতিফলন: $(-2, -1)$

$\mathbf{R}(180°)$ সরাসরি প্রয়োগ: $A(2,1) \to (-2,-1)$ ✓

ম্যাট্রিক্স গুণন: $\mathbf{M}_{y=-x} \cdot \mathbf{M}_{y=x} = \begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \mathbf{R}(180°) \quad \checkmark$

---

অ্যাঙ্গেল ৪: স্থানাঙ্ক থেকে প্রতিফলন অক্ষ নির্ণয়

(ক) শুধু $y$ চিহ্ন বদলেছে: $y' = -y$, $x' = x$ → X-অক্ষ।

(খ) শুধু $x$ চিহ্ন বদলেছে: $x' = -x$, $y' = y$ → Y-অক্ষ।

(গ) স্থানাঙ্ক পরস্পর অদলবদল: $x' = y_{orig} = 3$, $y' = x_{orig} = 7$ → $y = x$ রেখা।

(ঘ) ঋণাত্মক করে অদলবদল: $x' = -y_{orig} = -5$, $y' = -x_{orig} = -2$ → $y = -x$ রেখা।

(গ)-এর মধ্যবিন্দু যাচাই: $PP'$-এর মধ্যবিন্দু $= \left(\frac{7+3}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (5, 5)$। $y = x$-এ $x = 5$: $y = 5$ ✓ — মধ্যবিন্দুটি দর্পণ রেখার উপর আছে।

---

অ্যাঙ্গেল ৫: y = mx (স্বেচ্ছা ঢাল, c = 0) রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন

সূত্র: $x' = \frac{x(1 - m^2) + 2my}{1 + m^2}$, $\quad y' = \frac{2mx - y(1 - m^2)}{1 + m^2}$

$m = 2$, $x = 4$, $y = 2$ প্রতিস্থাপন: $x' = \frac{4(1 - 4) + 2(2)(2)}{1 + 4} = \frac{-12 + 8}{5} = \frac{-4}{5} = -0.8$ $y' = \frac{2(2)(4) - 2(1 - 4)}{5} = \frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4.4$

$\mathbf{P' = (-0.8,\; 4.4)}$

দূরত্ব যাচাই: $|OP| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $\quad |OP'| = \sqrt{0.64 + 19.36} = \sqrt{20} \quad \checkmark$

মধ্যবিন্দু যাচাই: $\left(\frac{4-0.8}{2}, \frac{2+4.4}{2}\right) = (1.6, 3.2)$। $y = 2x$-এ: $2(1.6) = 3.2$ ✓

---

অ্যাঙ্গেল ৬: y = mx + c (মূলবিন্দু দিয়ে না-যাওয়া) রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন

$\alpha = 45°$।

ধাপ ১ — ট্রান্সলেট $(0, -2)$: $P_1 = (2, 0-2) = (2, -2)$

ধাপ ২ — $-45°$ ঘূর্ণন: $x_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - (-2)\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}, \quad y_2 = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (-2)\frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

ধাপ ৩ — X-অক্ষে প্রতিফলন ($y \to -y$): $P_3 = (2\sqrt{2},\; +2\sqrt{2})$

ধাপ ৪ — $+45°$ ঘূর্ণন ও $+2$ ট্রান্সলেট: $x_4 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - 2 = 0, \quad y_4 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + 2 = 4$

পুনঃ-ট্রান্সলেট: $y' = 4 + 2 = 6$

$\mathbf{P'(2, 0) \to (0, 6)}$

মধ্যবিন্দু যাচাই: $\left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (1, 3)$। $y = x + 2$-এ: $1 + 2 = 3$ ✓

---

অ্যাঙ্গেল ৭: স্ব-বিপরীত ধর্ম যাচাই ($M^2 = I$)

(ক) স্ব-বিপরীত প্রমাণ: $\mathbf{M}_{y=x}^2 = \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \mathbf{I} \quad \checkmark$

(খ) $P(5,2)$ → প্রথম প্রতিফলন (অদলবদল): $P'(2,5)$ → দ্বিতীয় প্রতিফলন: $P''(5,2) = P$ ✓

(গ) নির্ণায়ক: $\det(\mathbf{M}_{y=x}) = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$।

জ্যামিতিক তাৎপর্য: $\det = -1$ নিশ্চিত করে যে একটি প্রতিফলন দিকবিন্যাস বিপরীত করে (CCW → CW)। দুটি প্রতিফলন পুনরায় দিকবিন্যাস স্বাভাবিক করে: $(-1)(-1) = +1$।

---

অ্যাঙ্গেল ৮: ক্ষেত্রফল সংরক্ষণ ও নির্ণায়ক অক্ষুণ্ণতার প্রমাণ

(ক) X-অক্ষে, $y' = -y$: $A' = (0, 0), \quad B' = (4, 0), \quad C' = (0, -3)$

(খ) ক্ষেত্রফল যাচাই: $\text{Area}_{ABC} = \frac{1}{2}|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)| = \frac{1}{2}|12| = \mathbf{6\text{ বর্গ একক}}$ $\text{Area}_{A'B'C'} = \frac{1}{2}|0(0-(-3)) + 4((-3)-0) + 0| = \frac{1}{2}|-12| = \mathbf{6\text{ বর্গ একক}} \quad \checkmark$

(গ) ঘূর্ণন দিক: আদি $A \to B \to C$: CCW। প্রতিফলিত $A' \to B' \to C'$: CW। $\det = -1$ এর সাথে সংগতিপূর্ণ। ✓

---

অ্যাঙ্গেল ৯: দুটি প্রতিফলনের যৌগিক = ঘূর্ণন

(ক) ধারাবাহিক প্রতিফলন:

X-অক্ষে প্রতিফলন ($y' = -y$): $A_1(3,0)$, $B_1(5,0)$, $C_1(4,-2)$।

Y-অক্ষে প্রতিফলন ($x' = -x$): $A''(-3,0)$, $B''(-5,0)$, $C''(-4,-2)$।

$\mathbf{R}(180°)$ সরাসরি: $A''(-3,0)$, $B''(-5,0)$, $C''(-4,-2)$ ✓

ম্যাট্রিক্স যাচাই: $\mathbf{M}_{y} \cdot \mathbf{M}_{x} = \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \mathbf{R}(180°) \quad \checkmark$

(খ) সাধারণ নিয়ম: দুটি দর্পণ রেখা $\phi$ কোণে পৃথক হলে, তাদের যৌগিক প্রতিফলন = $2\phi$ কোণের ঘূর্ণন। এখানে: X ও Y অক্ষের মধ্যে $\phi = 90°$, সুতরাং $2 \times 90° = 180°$ ✓

---

অ্যাঙ্গেল ১০: বিশ্ববিদ্যালয় পরীক্ষার প্যাটার্ন (প্রতিপাদন ও পূর্ণাঙ্গ সমাধান)

(ক) প্রতিপাদন:

$\alpha = \arctan(m)$।

1. $\mathbf{R}(-\alpha)$: $y = mx$-কে X-অক্ষের সাথে সমান্তরাল করো।
2. $\mathbf{M}_x$: X-অক্ষে প্রতিফলন।
3. $\mathbf{R}(\alpha)$: পূর্বাবস্থায় ফেরাও।

$\mathbf{M}_{y=mx} = \mathbf{R}(\alpha) \cdot \mathbf{M}_x \cdot \mathbf{R}(-\alpha)$

$\cos 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}$ এবং $\sin 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2}$ ব্যবহার করে:

$= \frac{1}{1+m^2}\begin{bmatrix}1-m^2 & 2m & 0\\ 2m & m^2-1 & 0\\ 0&0&1+m^2\end{bmatrix} \quad \text{(প্রমাণিত)}$

(খ) $y = x$ ($m=1$)-এর ক্ষেত্রে: $\mathbf{M}_{y=x} = \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ (স্থানাঙ্ক অদলবদল)।

সমস্ত শীর্ষবিন্দুতে প্রয়োগ (অদলবদল): $P_1'(0,1), \quad P_2'(0,3), \quad P_3'(2,4), \quad P_4'(2,2)$

(গ) ভরকেন্দ্রের যাচাই:

আদি ভরকেন্দ্র: $\bar{x} = \frac{1+3+4+2}{4} = 2.5$, $\bar{y} = \frac{0+0+2+2}{4} = 1$। $C_g = (2.5, 1)$।

প্রতিফলিত ভরকেন্দ্র: $\bar{x}' = \frac{0+0+2+2}{4} = 1$, $\bar{y}' = \frac{1+3+4+2}{4} = 2.5$। $C_g' = (1, 2.5)$।

এটি $(2.5, 1)$-এর $y = x$-এর সাপেক্ষে প্রতিফলন (অদলবদল) ✓।

$C_g$ ও $C_g'$-এর মধ্যবিন্দু: $\left(\frac{2.5+1}{2}, \frac{1+2.5}{2}\right) = (1.75, 1.75)$। $y = x$-এ: $1.75 = 1.75$ ✓ — মধ্যবিন্দু দর্পণ রেখার উপর আছে।

---

তুলনা সারণি: 2D প্রতিফলন ও অন্যান্য রূপান্তর

---

আপনার দক্ষতা যাচাই করুন

---

মূল বিষয়বস্তুর সারসংক্ষেপ

• সংজ্ঞা: প্রতিফলন প্রতিটি বিন্দু $P$-কে $P'$-এ রূপান্তরিত করে যাতে দর্পণ রেখা $PP'$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হয়।
• আইসোমেট্রি: দূরত্ব, কোণ, ক্ষেত্রফল, পরিধি অক্ষুণ্ণ থাকে — কিন্তু দিকবিন্যাস উল্টে যায় ($\det = -1$)।
• স্ব-বিপরীত: $\mathbf{M}^2 = \mathbf{I}$ — একই অক্ষে দুইবার প্রতিফলন → আদি অবস্থানে প্রত্যাবর্তন।
• পাঁচটি প্রমাণ ক্ষেত্র:

  দর্পণ রেখা	$x'$	$y'$
  X-অক্ষ	$x$	$-y$
  Y-অক্ষ	$-x$	$y$
  মূলবিন্দু	$-x$	$-y$
  $y = x$	$y$	$x$
  $y = -x$	$-y$	$-x$

• স্বেচ্ছা রেখা $y = mx$: $x' = \frac{x(1-m^2)+2my}{1+m^2}$, $\; y' = \frac{2mx - y(1-m^2)}{1+m^2}$
• যৌগিক নিয়ম: $\phi$ কোণে পৃথক দুটি রেখায় প্রতিফলন = $2\phi$ কোণের ঘূর্ণন।
• ম্যাট্রিক্স গুণফল: X-অক্ষ তারপর Y-অক্ষ = $R(180°)$; $y=x$ তারপর $y=-x$ = $R(180°)$।