2D Scaling

2D স্কেলিং (2D Scaling) কী?

কম্পিউটার গ্রাফিক্সে 2D স্কেলিং (2D Scaling) হলো একটি মৌলিক জ্যামিতিক রূপান্তর (Geometric Transformation), যার মাধ্যমে দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় সমতলে অবস্থিত কোনো বস্তু বা বিন্দুর প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ককে নির্দিষ্ট কিছু গুণক—যাদের স্কেলিং ফ্যাক্টর ($s_x, s_y$) বলা হয়—দ্বারা গুণ করে বস্তুর আকার, আকৃতি বা ক্ষেত্রফল পরিবর্তন করা হয়।

ট্রান্সলেশন যেখানে শুধুমাত্র বস্তুর অবস্থান পরিবর্তন করে (একটি রিজিড-বডি রূপান্তর বা আইসোমেট্রি), স্কেলিং সরাসরি বস্তুর মাত্রাগত প্রসার বা সংকোচন ঘটায়:

• বিবর্ধন বা সম্প্রসারণ (Magnification / Expansion): যখন স্কেলিং ফ্যাক্টরের মান ১-এর চেয়ে বড় হয় ($s_x, s_y > 1$), তখন বস্তুটি আকারে বৃদ্ধি পায় এবং স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আরও বেশি স্থান দখল করে।
• সংকোচন বা হ্রাস (Reduction / Compression): যখন স্কেলিং ফ্যাক্টরের মান ০ থেকে ১-এর মধ্যে থাকে ($0 < s_x, s_y < 1$), তখন বস্তুটি আকারে ছোট হয়ে যায়।
• অপরিবর্তিত অবস্থা (Identity Mapping): যখন $s_x = 1$ এবং $s_y = 1$, তখন বস্তুর আকারের কোনো পরিবর্তন ঘটে না ($P' = P$)।
• ঋণাত্মক স্কেলিং (Negative Scaling / Reflection): যখন স্কেলিং ফ্যাক্টর ঋণাত্মক হয় ($s_x < 0$ অথবা $s_y < 0$), তখন আকার পরিবর্তনের পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির প্রতিফলন (Reflection) ঘটে।
• শূন্য স্কেলিং (Degeneracy / Collapse): যদি $s_x = 0$ বা $s_y = 0$ হয়, তবে দ্বিমাত্রিক বস্তুটি একটি মাত্রাহীন বিন্দুতে বা একটি সরলরেখায় পরিণত হয় (যা একটি অপরিবর্তনীয় অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ বা Projection)।

$P(x, y) \xrightarrow{\quad \mathbf{S}(s_x, s_y) \quad} P'(x', y')$

এখানে:

• $(x, y)$ হলো আদি বা মূল বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক।
• $s_x$ হলো $x$-অক্ষ বরাবর আনুভূমিক স্কেলিং ফ্যাক্টর (Horizontal Scaling Factor)।
• $s_y$ হলো $y$-অক্ষ বরাবর উলম্ব স্কেলিং ফ্যাক্টর (Vertical Scaling Factor)।
• $(x', y')$ হলো স্কেলিং-পরবর্তী নতুন রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক।

---

শ্রেণিবিভাগ: সুষম বনাম অসম স্কেলিং (Uniform vs Differential Scaling)

$s_x$ এবং $s_y$-এর মধ্যকার সম্পর্কের ওপর ভিত্তি করে স্কেলিংকে দুটি প্রধান ভাগে ভাগ করা হয়:

1. সুষম স্কেলিং (Uniform / Isotropic Scaling) [$s_x = s_y = s$]:

   • উভয় অক্ষে সমপরিমাণে স্কেল করা হয় ($s_x = s_y = s$)।
   • আকৃতি অবিকৃত থাকে: বস্তুর অভ্যন্তরীণ কোণ, অনুপাত ও আকৃতি (Aspect Ratio) অপরিবর্তিত থাকে।
   • একটি বৃত্ত বৃত্তই থাকে; একটি বর্গক্ষেত্র বর্গক্ষেত্রই থাকে।
   • জ্যামিতিতে একে সাদৃশ্য রূপান্তর (Similarity Transformation) বা হোমোথেটি (Homothety / Dilation) বলা হয়।

2. অসম বা ডিফারেনশিয়াল স্কেলিং (Differential / Anisotropic / Non-Uniform Scaling) [$s_x \neq s_y$]:

   • দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর ভিন্ন ভিন্ন ফ্যাক্টরে স্কেল করা হয়।
   • আকৃতি বিকৃত হয়: বস্তুর অনুপাত এবং অভ্যন্তরীণ কোণ পরিবর্তিত হয়ে যায়।
   • একটি বর্গক্ষেত্র আয়তক্ষেত্রে পরিণত হয়; একটি সমবাহু ত্রিভুজ বিষমবাহু ত্রিভুজে রূপ নেয়; এবং একটি বৃত্ত বিকৃত হয়ে উপবৃত্ত (Ellipse)-এ পরিণত হয়।
   • এটি একটি সাধারণ অ্যাফাইন রূপান্তর (Affine Transformation), তবে এটি সাদৃশ্য রূপান্তর নয়।

---

---

গাণিতিক সূত্র ও ম্যাট্রিক্স প্রকাশ

১. বীজগাণিতিক সমীকরণ (মূলবিন্দুর সাপেক্ষে)

দ্বিমাত্রিক তলে মূলবিন্দু $(0, 0)$-এর সাপেক্ষে কোনো বিন্দু $P(x, y)$-কে $s_x$ ও $s_y$ ফ্যাক্টরে স্কেল করলে নতুন স্থানাঙ্ক দাঁড়ায়:

$x' = x \cdot s_x$

$y' = y \cdot s_y$

• $s_x > 1$ হলে বিন্দুটি $y$-অক্ষ থেকে অনুভূমিকভাবে দূরে সরে যায়।
• $0 < s_x < 1$ হলে বিন্দুটি $y$-অক্ষের নিকটবর্তী হয়।
• $s_y > 1$ হলে বিন্দুটি $x$-অক্ষ থেকে উল্লম্বভাবে দূরে সরে যায়।
• $0 < s_y < 1$ হলে বিন্দুটি $x$-অক্ষের নিকটবর্তী হয়।

২. স্ট্যান্ডার্ড $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স রূপ

যেহেতু মূলবিন্দুর সাপেক্ষে স্কেলিং মূলবিন্দুকে নিজের অবস্থানেই স্থির রাখে ($S(0, 0) = (0, 0)$) এবং রৈখিকতার শর্তাবলি মেনে চলে ($S(u+v) = S(u)+S(v)$ এবং $S(c \cdot u) = c \cdot S(u)$), তাই মূলবিন্দুর সাপেক্ষে স্কেলিং একটি বিশুদ্ধ রৈখিক রূপান্তর (Linear Transformation)।

অতএব, একে সরাসরি একটি $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স গুণন হিসেবে লেখা যায়:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

$P' = \mathbf{S}(s_x, s_y) \cdot P$

৩. $3 \times 3$ সমসত্ত্ব স্থানাঙ্ক ম্যাট্রিক্স (Homogeneous Coordinate Matrix)

গ্রাফিক্স রেন্ডারিং ইঞ্জিনগুলোতে (OpenGL, WebGL, Vulkan, DirectX) একাধিক রূপান্তরকে (যেমন: ট্রান্সলেশন, রোটেশন, স্কেলিং) একটিমাত্র যৌগিক ম্যাট্রিক্সে গুণ করার জন্য সমসত্ত্ব স্থানাঙ্ক (Homogeneous Coordinates) ব্যবহার করা অপরিহার্য।

যেহেতু ট্রান্সলেশনকে কোনোভাবেই $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না, তাই সব রূপান্তরকে একটি সর্বজনীন $3 \times 3$ কাঠামোর অধীনে আনা হয় যেখানে প্রতিটি বিন্দুকে $[x, y, 1]^T$ কলাম ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করা হয়:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণন করলে পাওয়া যায়: $x' = s_x \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot 1 = s_x \cdot x$ $y' = 0 \cdot x + s_y \cdot y + 0 \cdot 1 = s_y \cdot y$ $1 = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot 1 = 1$

---

মূলবিন্দুর স্থানচ্যুতি সমস্যা ও স্থির-বিন্দু স্কেলিং (Fixed-Point Scaling)

স্কেলিং-এ বস্তু কেন নিজের স্থান থেকে সরে যায়?

যখন আপনি সাধারণ ম্যাট্রিক্স $\mathbf{S}(s_x, s_y)$ ব্যবহার করেন, তখন স্কেলিংটি ঘটে মূলবিন্দু $(0, 0)$-এর সাপেক্ষে।

ফলস্বরূপ, প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্কই গুণিতক আকারে বৃদ্ধি পায়: $P(4, 3) \xrightarrow{S(2, 2)} P'(8, 6)$

লক্ষ করুন, বস্তুর আকার দ্বিগুণ হওয়ার সাথে সাথে এটি মূলবিন্দু থেকে দ্বিগুণ দূরত্বে সরে গেছে!

বাস্তব গ্রাফিক্স অ্যানিমেশন বা ডিজাইনে আমরা সচরাচর চাই বস্তুটি তার নিজের স্থানে দাঁড়িয়ে থেকেই প্রসারিত বা সংকুচিত হোক—অর্থাৎ বস্তুটির নিজস্ব কেন্দ্রবিন্দু বা কোনো নির্দিষ্ট নোঙর বিন্দু $P_f(x_f, y_f)$-এর চারপাশে স্কেলিং সম্পন্ন হোক।

---

স্থির-বিন্দু স্কেলিং (Scaling About an Arbitrary Pivot $P_f(x_f, y_f)$)

যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দু $P_f(x_f, y_f)$-কে স্থির রেখে স্কেলিং সম্পন্ন করার জন্য তিন ধাপের একটি যৌগিক রূপান্তর পাইপলাইন (Composite Transformation Pipeline) অনুসরণ করা হয়:

1. প্রাক-স্থানান্তর ($T_{-f}$): বস্তুটিকে এমনভাবে ট্রান্সলেট করা হয় যাতে স্থির বিন্দু $P_f(x_f, y_f)$ মূলবিন্দু $(0, 0)$-এ চলে আসে।
2. মূল স্কেলিং ($S_{origin}$): মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কাঙ্ক্ষিত স্কেলিং $\mathbf{S}(s_x, s_y)$ প্রয়োগ করা হয়।
3. পুনঃ-স্থানান্তর ($T_f$): বস্তুটিকে পুনরায় বিপরীত দিকে ট্রান্সলেট করে মূলবিন্দু থেকে স্থির বিন্দুর মূল অবস্থান $(x_f, y_f)$-এ ফিরিয়ে আনা হয়।

text

Copy

---

---

স্থির-বিন্দু স্কেলিং ম্যাট্রিক্স প্রতিপাদন (Mathematical Derivation)

ম্যাট্রিক্স গুণন সূত্রানুসারে:

$\mathbf{M}_{fixed} = \mathbf{T}(x_f, y_f) \cdot \mathbf{S}(s_x, s_y) \cdot \mathbf{T}(-x_f, -y_f)$

ধাপ ১: স্কেলিং ম্যাট্রিক্স এবং প্রাক-স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স গুণ করা:

$\mathbf{S}(s_x, s_y) \cdot \mathbf{T}(-x_f, -y_f) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_f \\ 0 & 1 & -y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & -s_x x_f \\ 0 & s_y & -s_y y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ধাপ ২: পুনঃ-স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রাক-গুণ (Pre-multiply) করা:

$\mathbf{M}_{fixed} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x_f \\ 0 & 1 & y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x & 0 & -s_x x_f \\ 0 & s_y & -s_y y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f - s_x x_f \\ 0 & s_y & y_f - s_y y_f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$x_f$ এবং $y_f$ কমন নিলে আমরা চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্স পাই:

$\mathbf{M}_{fixed} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f(1 - s_x) \\ 0 & s_y & y_f(1 - s_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

সরাসরি বীজগাণিতিক সূত্র

যেকোনো শীর্ষবিন্দু $(x, y)$-এর ওপর সরাসরি এই সূত্র প্রয়োগ করা যায়:

$x' = x \cdot s_x + x_f(1 - s_x) = x_f + (x - x_f) \cdot s_x$

$y' = y \cdot s_y + y_f(1 - s_y) = y_f + (y - y_f) \cdot s_y$

---

ঋণাত্মক স্কেলিং ও অক্ষীয় প্রতিফলন (Negative Scaling & Reflections)

স্কেলিং ফ্যাক্টরের মান ঋণাত্মক হলে তা গাণিতিকভাবে আকার পরিবর্তনের পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটিকে উল্টে দেয় বা প্রতিফলিত (Reflect) করে:

• $s_x < 0, s_y > 0$: অনুভূমিক দিক উল্টে যায় $\rightarrow$ $y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন ($x = 0$) এবং $|s_x|$ অনুপাতে আকার বৃদ্ধি/হ্রাস।
• $s_x > 0, s_y < 0$: উল্লম্ব দিক উল্টে যায় $\rightarrow$ $x$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন ($y = 0$) এবং $|s_y|$ অনুপাতে আকার বৃদ্ধি/হ্রাস।
• $s_x < 0, s_y < 0$: উভয় দিক উল্টে যায় $\rightarrow$ মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিফলন ($0, 0$) [যা জ্যামিতিকভাবে একটি $180^\circ$ ঘূর্ণনের সমান]।
• বিশুদ্ধ প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স ($|s_x| = 1, |s_y| = 1$): $\mathbf{S}(-1, 1) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (\text{Y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন})$ $\mathbf{S}(1, -1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (\text{X-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন})$ $\mathbf{S}(-1, -1) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (\text{মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিফলন / } 180^\circ \text{ ঘূর্ণন})$

---

বিপরীত স্কেলিং ম্যাট্রিক্স (Inverse Scaling Matrix)

কোনো বস্তুর ওপর স্কেলিং প্রয়োগ করার পর তাকে পূর্বাবস্থায় ফিরিয়ে আনার জন্য বিপরীত স্কেলিং ম্যাট্রিক্স $\mathbf{S}^{-1}$ ব্যবহৃত হয়:

$\mathbf{S}^{-1}(s_x, s_y) = \mathbf{S}\left(\frac{1}{s_x}, \frac{1}{s_y}\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{s_x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{s_y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• বিপরীতযোগ্যতার শর্ত: স্কেলিং তখনই বিপরীতযোগ্য (Invertible) হবে যদি এবং কেবল যদি $s_x \neq 0$ এবং $s_y \neq 0$ হয়।
• যদি কোনো একটি ফ্যাক্টর শূন্য হয়, তবে $\det(\mathbf{S}) = 0$ হয়ে যায়, যার ফলে তথ্য চিরতরে হারিয়ে যায় এবং ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার (Singular / Non-invertible) হয়ে পড়ে।
• সত্যতা যাচাই: $\mathbf{S}(s_x, s_y) \cdot \mathbf{S}^{-1}(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{s_x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{s_y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$

---

জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য ও ক্ষেত্রফল স্কেলিং উপপাদ্য (Area Scaling Theorem)

১. স্কেলিং ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (Determinant)

স্কেলিং ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান হলো:

$\det(\mathbf{S}) = s_x \cdot s_y$

বহুচলক ক্যালকুলাস (ম্যাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস) এবং লিনিয়ার অ্যালজেব্রায় জ্যাকোবিয়ান নির্ণায়ক নির্দেশ করে যে কোনো রূপান্তরের ফলে ক্ষেত্রফল কত গুণ পরিবর্তিত হবে।

২. ক্ষেত্রফল স্কেলিং উপপাদ্য (Area Scaling Theorem)

যেকোনো দ্বিমাত্রিক আবদ্ধ ক্ষেত্রফল $\text{Area}_{orig}$-এর ওপর স্কেলিং প্রয়োগ করলে রূপান্তরিত ক্ষেত্রফল দাঁড়ায়:

$\mathbf{\text{Area}_{new} = |s_x \cdot s_y| \cdot \text{Area}_{orig} = |\det(\mathbf{S})| \cdot \text{Area}_{orig}}$

• সুষম স্কেলিং ($s_x = s_y = s$)-এর ক্ষেত্রে: $\text{Area}_{new} = s^2 \cdot \text{Area}_{orig}$ $\text{Perimeter}_{new} = |s| \cdot \text{Perimeter}_{orig}$
• যদি $s = 2$ হয়, তবে পরিধি দ্বিগুণ হলেও ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় চারগুণ ($\times 4$)।
• যদি $s = 0.5$ হয়, তবে পরিধি অর্ধেক হয় এবং ক্ষেত্রফল কমে হয় এক-চতুর্থাংশ ($\times 0.25$)।

৩. জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের অপরিবর্তনশীলতা সারণি

---

ইন্টারঅ্যাক্টিভ 2D রূপান্তর সিমুলেটর

নিচের সিমুলেটরে স্কেলিং ফ্যাক্টর ও অন্যান্য প্যারামিটার পরিবর্তন করে বাস্তব সময়ে বস্তুর পরিবর্তন পর্যবেক্ষণ করুন:

---

বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান (১০টি ভিন্ন অ্যাঙ্গেল)

---

অ্যাঙ্গেল ১: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দুর স্কেলিং (প্রসারণ ও সংকোচন)

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) বিবর্ধন ($s_x = 2.5, s_y = 1.5$): $x_1' = x \cdot s_x = 4 \cdot 2.5 = 10$ $y_1' = y \cdot s_y = (-6) \cdot 1.5 = -9$ $\mathbf{P_1' = (10, -9)}$

(খ) সংকোচন ($s_x = 0.25, s_y = 0.5$): $x_2' = x \cdot s_x = 4 \cdot 0.25 = 1$ $y_2' = y \cdot s_y = (-6) \cdot 0.5 = -3$ $\mathbf{P_2' = (1, -3)}$

(গ) দূরত্বের অনুপাত: আদি দূরত্ব $|OP|$: $|OP| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.211$

বিবর্ধিত দূরত্ব $|OP_1'|$: $|OP_1'| = \sqrt{10^2 + (-9)^2} = \sqrt{100 + 81} = \sqrt{181} \approx 13.454$

অনুপাত: $\frac{|OP_1'|}{|OP|} = \frac{\sqrt{181}}{\sqrt{52}} \approx \mathbf{1.866}$

(লক্ষ করুন, স্কেলিংটি অসম হওয়ায় দূরত্বের বৃদ্ধি কোনো একক স্কেলার গুণকে সীমাবদ্ধ থাকেনি)।

---

অ্যাঙ্গেল ২: ব্যাচ ম্যাট্রিক্স গুণনের মাধ্যমে বহুভুজের অসম স্কেলিং

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) ভার্টেক্স ম্যাট্রিক্স গঠন: প্রতিটি শীর্ষবিন্দুকে $[x_i, y_i, 1]^T$ কলাম আকারে সাজিয়ে: $[P] = \begin{bmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(খ) ম্যাট্রিক্স গুণনের মাধ্যমে স্কেলিং: স্কেলিং ম্যাট্রিক্স $\mathbf{S}(2, 3)$: $\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

গুণফল $[P'] = \mathbf{S} \cdot [P]$: $[P'] = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1) & 2(4) & 2(1) \\ 3(1) & 3(1) & 3(5) \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 2 \\ 3 & 3 & 15 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

রূপান্তরিত শীর্ষবিন্দুগুলো: $\mathbf{A'(2, 3), \quad B'(8, 3), \quad C'(2, 15)}$

(গ) ক্ষেত্রফল যাচাই:

• আদি ত্রিভুজ: ভূমি $b = |AB| = 4 - 1 = 3$, উচ্চতা $h = |AC| = 5 - 1 = 4$। $\text{Area}_{orig} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \mathbf{6\text{ বর্গ একক}}$
• রূপান্তরিত ত্রিভুজ: ভূমি $b' = |A'B'| = 8 - 2 = 6$, উচ্চতা $h' = |A'C'| = 15 - 3 = 12$। $\text{Area}_{trans} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = \mathbf{36\text{ বর্গ একক}}$
• উপপাদ্য যাচাই: $\text{Area}_{trans} = (s_x \cdot s_y) \cdot \text{Area}_{orig} = (2 \cdot 3) \cdot 6 = 6 \cdot 6 = \mathbf{36\text{ বর্গ একক}}$ উপপাদ্যটি যথাযথভাবে প্রমাণিত!

---

অ্যাঙ্গেল ৩: নির্দিষ্ট বিন্দু $P_f(x_f, y_f)$-এর সাপেক্ষে স্থির-বিন্দু স্কেলিং

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) যৌগিক ম্যাট্রিক্স গঠন: দেওয়া আছে: $x_f = 1, y_f = 1$ এবং $s_x = 2, s_y = 2$। $\mathbf{M}_{fixed} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f(1 - s_x) \\ 0 & s_y & y_f(1 - s_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $x_f(1 - s_x) = 1(1 - 2) = -1$ $y_f(1 - s_y) = 1(1 - 2) = -1$

$\mathbf{M}_{fixed} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(খ) শীর্ষবিন্দুগুলোর রূপান্তর: বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্স $[P]$: $[P] = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণফল $[P'] = \mathbf{M}_{fixed} \cdot [P]$: $[P'] = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

• ১ম সারি: $[2(2) - 1, \; 2(4) - 1, \; 2(4) - 1, \; 2(2) - 1] = [3, \; 7, \; 7, \; 3]$
• ২য় সারি: $[2(2) - 1, \; 2(2) - 1, \; 2(4) - 1, \; 2(4) - 1] = [3, \; 3, \; 7, \; 7]$
• ৩য় সারি: $[1, \; 1, \; 1, \; 1]$

$[P'] = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 7 & 3 \\ 3 & 3 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

নতুন শীর্ষবিন্দু: $\mathbf{A'(3, 3), \quad B'(7, 3), \quad C'(7, 7), \quad D'(3, 7)}$

(গ) সরাসরি সূত্রের সাহায্যে যাচাই: $x' = x_f + (x - x_f)s_x$ এবং $y' = y_f + (y - y_f)s_y$ ব্যবহার করে:

• $A(2, 2)$: $x' = 1 + (2 - 1)2 = 3, \; y' = 1 + (2 - 1)2 = 3 \implies (3, 3)$
• $B(4, 2)$: $x' = 1 + (4 - 1)2 = 7, \; y' = 1 + (2 - 1)2 = 3 \implies (7, 3)$
• $C(4, 4)$: $x' = 1 + (4 - 1)2 = 7, \; y' = 1 + (4 - 1)2 = 7 \implies (7, 7)$
• $D(2, 4)$: $x' = 1 + (2 - 1)2 = 3, \; y' = 1 + (4 - 1)2 = 7 \implies (3, 7)$ উভয় পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ফলাফল সম্পূর্ণ এক!

---

অ্যাঙ্গেল ৪: বস্তুর ভরকেন্দ্র বা কেন্দ্রবিন্দু (Centroid)-এর সাপেক্ষে স্কেলিং

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) ভরকেন্দ্র $C_g$ নির্ণয়: $\bar{x} = \frac{2 + 8 + 8 + 2}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $\bar{y} = \frac{2 + 2 + 6 + 6}{4} = \frac{16}{4} = 4$ $\mathbf{C_g = (5, 4)}$

(খ) কেন্দ্রবিন্দু সাপেক্ষে স্কেলিং ($x_f = 5, y_f = 4, s_x = 1.5, s_y = 1.5$): সূত্র: $x' = x_f + (x - x_f)s_x$ এবং $y' = y_f + (y - y_f)s_y$:

• শীর্ষ $A(2, 2)$: $x_A' = 5 + (2 - 5)(1.5) = 5 - 4.5 = 0.5$ $y_A' = 4 + (2 - 4)(1.5) = 4 - 3.0 = 1.0 \implies \mathbf{A'(0.5, 1.0)}$
• শীর্ষ $B(8, 2)$: $x_B' = 5 + (8 - 5)(1.5) = 5 + 4.5 = 9.5$ $y_B' = 4 + (2 - 4)(1.5) = 4 - 3.0 = 1.0 \implies \mathbf{B'(9.5, 1.0)}$
• শীর্ষ $C(8, 6)$: $x_C' = 5 + (8 - 5)(1.5) = 5 + 4.5 = 9.5$ $y_C' = 4 + (6 - 4)(1.5) = 4 + 3.0 = 7.0 \implies \mathbf{C'(9.5, 7.0)}$
• শীর্ষ $D(2, 6)$: $x_D' = 5 + (2 - 5)(1.5) = 5 - 4.5 = 0.5$ $y_D' = 4 + (6 - 4)(1.5) = 4 + 3.0 = 7.0 \implies \mathbf{D'(0.5, 7.0)}$

(গ) কেন্দ্রবিন্দুর অপরিবর্তনশীলতা যাচাই: $\bar{x}' = \frac{0.5 + 9.5 + 9.5 + 0.5}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $\bar{y}' = \frac{1.0 + 1.0 + 7.0 + 7.0}{4} = \frac{16}{4} = 4$ $\mathbf{C_g' = (5, 4) = C_g}$ প্রমাণিত হলো যে কেন্দ্রবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে বস্তুটি চারদিকে সমানভাবে সুষমভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে!

---

অ্যাঙ্গেল ৫: বিপরীত স্কেলিং ও অজানা স্কেলিং ফ্যাক্টর নির্ণয়

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\mathbf{S}^{-1}$ প্রয়োগ করে: $\mathbf{S}^{-1}(3, -4) = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 15 \\ -24 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{P = (5, 6)}$

(খ) ক্ষেত্রফল থেকে স্কেলিং ফ্যাক্টর বের করা: $\text{Area}' = s^2 \cdot \text{Area} \implies 216 = s^2 \cdot 24$ $s^2 = \frac{216}{24} = 9 \implies \mathbf{s = 3}$

(গ) স্থানাঙ্ক থেকে স্কেলিং ফ্যাক্টর নির্ণয়: $x' = x \cdot s_x \implies 9 = 6 \cdot s_x \implies \mathbf{s_x = 1.5}$ $y' = y \cdot s_y \implies 2 = 8 \cdot s_y \implies \mathbf{s_y = 0.25}$

---

অ্যাঙ্গেল ৬: ঋণাত্মক স্কেলিং (একযোগে স্কেলিং ও প্রতিফলন)

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) রূপান্তর ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ: $\mathbf{S}(-2, 1.5) = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ভার্টেক্স ম্যাট্রিক্স $[P]$: $[P] = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণফল $[P'] = [S][P]$: $[P'] = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -10 & -6 \\ 1.5 & 1.5 & 6.0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

রূপান্তরিত শীর্ষবিন্দুগুলো: $\mathbf{A'(-4, 1.5), \quad B'(-10, 1.5), \quad C'(-6, 6.0)}$

(খ) চতুর্ভাগ ও জ্যামিতিক তাৎপর্য:

• এখানে $x$-স্থানাঙ্কগুলো ঋণাত্মক ($x' < 0$) এবং $y$-স্থানাঙ্কগুলো ধনাত্মক ($y' > 0$)।
• অতএব, ত্রিভুজটি ১ম চতুর্ভাগ থেকে ২য় চতুর্ভাগে (Quadrant II) স্থানান্তরিত হয়েছে।
• $s_x = -2$ ফ্যাক্টরটি একই সাথে $y$-অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুর প্রতিফলন এবং অনুভূমিকভাবে ২ গুণ প্রসারণ ঘটিয়েছে।

(গ) শীর্ষবিন্দুর দিকবিন্যাস:

• আদি ত্রিভুজ $A(2, 1) \rightarrow B(5, 1) \rightarrow C(3, 4)$ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (Counter-Clockwise) ছিল।
• প্রতিফলনের পর $A'(-4, 1.5) \rightarrow B'(-10, 1.5) \rightarrow C'(-6, 6.0)$ ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) আবর্তিত হয়েছে।
• যেহেতু $\det(\mathbf{S}) = (-2)(1.5) = -3 < 0$, নির্ণায়ক ঋণাত্মক হওয়ায় হ্যান্ডেডনেস বা দিকবিন্যাস উল্টে যাওয়া অবধারিত।

---

অ্যাঙ্গেল ৭: বক্ররেখার স্কেলিং (বৃত্ত থেকে উপবৃত্তে রূপান্তর)

ধাপে ধাপে সমাধান:

বক্ররেখার সমীকরণে রূপান্তর প্রয়োগের ক্ষেত্রে বিপরীত সমীকরণ $x = \frac{x'}{s_x}$ এবং $y = \frac{y'}{s_y}$ প্রতিস্থাপন করতে হয়:

(ক) সুষম স্কেলিং ($s_x = s_y = 2$): $x = \frac{x'}{2}, \quad y = \frac{y'}{2}$ বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে পাই: $\left(\frac{x'}{2}\right)^2 + \left(\frac{y'}{2}\right)^2 = 25 \implies \frac{x'^2}{4} + \frac{y'^2}{4} = 25 \implies \mathbf{x^2 + y^2 = 100 = 10^2}$

• এটি একটি বৃত্ত যার নতুন ব্যাসার্ধ $R' = 2 \cdot 5 = 10$। সুষম স্কেলিং বৃত্তের প্রকৃতি অক্ষুণ্ণ রাখে।

(খ) অসম স্কেলিং ($s_x = 3, s_y = 2$): $x = \frac{x'}{3}, \quad y = \frac{y'}{2}$ সমীকরণে বসিয়ে পাই: $\frac{x'^2}{9} + \frac{y'^2}{4} = 25 \implies \frac{x'^2}{225} + \frac{y'^2}{100} = 1$ আদর্শ উপবৃত্তের সমীকরণ: $\mathbf{\frac{x^2}{15^2} + \frac{y^2}{10^2} = 1}$

• বৃত্তটি একটি উপবৃত্তে (Ellipse) রূপান্তরিত হয়েছে!
• বৃহৎ অর্ধ-অক্ষ (Semi-major axis) $a = 15$ ($x$-অক্ষ বরাবর)।
• ক্ষুদ্র অর্ধ-অক্ষ (Semi-minor axis) $b = 10$ ($y$-অক্ষ বরাবর)।

---

অ্যাঙ্গেল ৮: সরলরেখার সমীকরণ স্কেলিং ও ঢালের পরিবর্তন বিশ্লেষণ

ধাপে ধাপে সমাধান:

আদি রেখার ঢাল: $4y = 3x + 12 \implies y = \frac{3}{4}x + 3 \implies \mathbf{m = \frac{3}{4} = 0.75}$।

(ক) সুষম স্কেলিং ($s_x = s_y = 2$): $x = \frac{x'}{2}, \quad y = \frac{y'}{2}$ $3\left(\frac{x'}{2}\right) - 4\left(\frac{y'}{2}\right) + 12 = 0 \implies 3x' - 4y' + 24 = 0 \implies \mathbf{3x - 4y + 24 = 0}$ নতুন ঢাল: $4y = 3x + 24 \implies y = \frac{3}{4}x + 6 \implies \mathbf{m' = \frac{3}{4}}$। $\mathbf{m' = m = 0.75} \quad \text{(সুষম স্কেলিং-এ ঢাল অপরিবর্তিত থাকে)}$

(খ) অসম স্কেলিং ($s_x = 4, s_y = 2$): $x = \frac{x'}{4}, \quad y = \frac{y'}{2}$ $3\left(\frac{x'}{4}\right) - 4\left(\frac{y'}{2}\right) + 12 = 0 \implies 3x' - 8y' + 48 = 0 \implies \mathbf{3x - 8y + 48 = 0}$ নতুন ঢাল: $8y = 3x + 48 \implies y = \frac{3}{8}x + 6 \implies \mathbf{m' = \frac{3}{8} = 0.375}$।

সাধারণ ঢাল সূত্র: যেহেতু $\Delta x' = s_x \Delta x$ এবং $\Delta y' = s_y \Delta y$: $m' = \frac{\Delta y'}{\Delta x'} = \frac{s_y \Delta y}{s_x \Delta x} = m \cdot \left(\frac{s_y}{s_x}\right)$ মান বসিয়ে: $m' = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{8} = 0.375$।

---

অ্যাঙ্গেল ৯: যৌগিক রূপান্তর ও কম্যুটেটিভিটি (স্কেল ও ট্রান্সলেশনের মিথস্ক্রিয়া)

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) বিশুদ্ধ স্কেলিং-এর বিনিময়যোগ্যতা: $\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{S}_2 = \begin{bmatrix} s_{1x} s_{2x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{1y} s_{2y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{S}_1 = \mathbf{S}(s_{1x} s_{2x}, \; s_{1y} s_{2y})$ যেহেতু স্কেলার গুণন বিনিময়যোগ্য, তাই দুটি ধারাবাহিক স্কেলিং সর্বদা বিনিময়যোগ্য।

(খ) স্কেলিং ও ট্রান্সলেশনের অমিল: $\mathbf{T}(4, 2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ এবং $\mathbf{S}(2, 3) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

ক্ষেত্র ১: $\mathbf{M}_1 = \mathbf{S} \cdot \mathbf{T}$ (প্রথমে স্থানান্তর, তারপর স্কেলিং): $\mathbf{M}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{\begin{bmatrix} 2 & 0 & 8 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$

ক্ষেত্র ২: $\mathbf{M}_2 = \mathbf{T} \cdot \mathbf{S}$ (প্রথমে স্কেলিং, তারপর স্থানান্তর): $\mathbf{M}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$

জ্যামিতিক তাৎপর্য: $\mathbf{M}_1 \neq \mathbf{M}_2$

• $\mathbf{M}_2$-এর ক্ষেত্রে বস্তুটি মূলবিন্দুতে স্কেল হয়ে সাধারণ দূরত্বের $\langle 4, 2 \rangle$ ভেক্টরে সরে যায়।
• কিন্তু $\mathbf{M}_1$-এর ক্ষেত্রে স্থানান্তর ভেক্টরটিও স্কেলিং-এর কবলে পড়ে, যার ফলে কার্যকর স্থানান্তর দ্বিগুণ ও তিনগুণ হয়ে $\langle 8, 6 \rangle$ দাঁড়ায়।
• উপসংহার: স্কেলিং ও ট্রান্সলেশন সাধারণত বিনিময়যোগ্য নয়!

---

অ্যাঙ্গেল ১০: বিশ্ববিদ্যালয় পরীক্ষার প্রশ্ন (প্রতিপাদন ও পূর্ণাঙ্গ গাণিতিক সমাধান)

ধাপে ধাপে সমাধান:

(ক) প্রতিপাদন:

1. স্থির বিন্দু $P_f$-কে মূলবিন্দুতে নিয়ে যাওয়ার ম্যাট্রিক্স: $\mathbf{T}_1 = \mathbf{T}(-x_f, -y_f)$।
2. মূলবিন্দুর সাপেক্ষে স্কেলিং ম্যাট্রিক্স: $\mathbf{S} = \mathbf{S}(s_x, s_y)$।
3. আদি অবস্থানে ফিরিয়ে আনার ম্যাট্রিক্স: $\mathbf{T}_2 = \mathbf{T}(x_f, y_f)$।
4. যৌগিক ম্যাট্রিক্স: $\mathbf{M} = \mathbf{T}_2 \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{T}_1 = \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f(1 - s_x) \\ 0 & s_y & y_f(1 - s_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{(প্রমাণিত)}$

(খ) ত্রিভুজ $ABC$-এর স্কেলিং: এখানে $x_f = 3, y_f = 2$ এবং $s_x = 0.5, s_y = 2$।

• $t_x = 3(1 - 0.5) = 1.5$
• $t_y = 2(1 - 2) = -2$

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 1.5 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণফল $[P'] = [M][P]$:

• $A(3, 2) \implies x_A' = 0.5(3) + 1.5 = 3.0, \; y_A' = 2(2) - 2 = 2.0 \implies \mathbf{A'(3, 2)}$ (স্থির বিন্দুটি অপরিবর্তিত)
• $B(7, 2) \implies x_B' = 0.5(7) + 1.5 = 5.0, \; y_B' = 2(2) - 2 = 2.0 \implies \mathbf{B'(5, 2)}$
• $C(5, 6) \implies x_C' = 0.5(5) + 1.5 = 4.0, \; y_C' = 2(6) - 2 = 10.0 \implies \mathbf{C'(4, 10)}$

রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক: $\mathbf{A'(3, 2), \quad B'(5, 2), \quad C'(4, 10)}$

(গ) ক্ষেত্রফলের সমতা প্রমাণ:

• আদি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $\text{Area}_{orig} = \frac{1}{2} |3(2 - 6) + 7(6 - 2) + 5(2 - 2)| = \frac{1}{2} |-12 + 28| = \mathbf{8\text{ বর্গ একক}}$
• রূপান্তরিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $\text{Area}_{trans} = \frac{1}{2} |3(2 - 10) + 5(10 - 2) + 4(2 - 2)| = \frac{1}{2} |-24 + 40| = \mathbf{8\text{ বর্গ একক}}$
• ক্ষেত্রফল উপপাদ্য মতে: $\text{Area}_{trans} = |s_x \cdot s_y| \cdot \text{Area}_{orig} = |0.5 \cdot 2| \cdot 8 = 1 \cdot 8 = \mathbf{8\text{ বর্গ একক}}$ যেহেতু $s_x \cdot s_y = 1$, তাই আকৃতি পরিবর্তন হওয়া সত্ত্বেও ক্ষেত্রফল হুবহু একই থাকে!

---

তুলনা সারণি: অন্যান্য রূপান্তরের সাথে 2D স্কেলিং-এর তুলনা

---

আপনার দক্ষতা যাচাই করুন

---

মূল বিষয়বস্তুর সারসংক্ষেপ

• মূল সংজ্ঞা: 2D স্কেলিং বস্তুর শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ককে স্কেলিং ফ্যাক্টর $s_x$ ও $s_y$ দ্বারা গুণ করে প্রসারিত বা সংকুচিত করে ($x' = x \cdot s_x$, $y' = y \cdot s_y$)।
• রৈখিক বনাম অ্যাফাইন: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে স্কেলিং একটি রৈখিক রূপান্তর ($2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স), তবে স্থির বিন্দুর সাপেক্ষে স্কেলিং হলো অ্যাফাইন, যার জন্য $3 \times 3$ সমসত্ত্ব ম্যাট্রিক্স প্রয়োজন।
• সুষম বনাম অসম:
  • সুষম ($s_x = s_y$): কোণ ও আকৃতি অক্ষুণ্ণ থাকে (সাদৃশ্য রূপান্তর)।
  • অসম ($s_x \neq s_y$): আকৃতি ও কোণ বিকৃত হয় এবং বৃত্ত উপবৃত্তে পরিণত হয়।
• স্থির-বিন্দু স্কেলিং: বস্তুকে নিজের স্থানে নোঙর রেখে স্কেল করার ৩ ধাপের ম্যাট্রিক্স: $\mathbf{M}_{fixed} = \mathbf{T}(x_f, y_f) \cdot \mathbf{S}(s_x, s_y) \cdot \mathbf{T}(-x_f, -y_f) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & x_f(1 - s_x) \\ 0 & s_y & y_f(1 - s_y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• ঋণাত্মক স্কেলিং: ঋণাত্মক মান অক্ষীয় প্রতিফলন ঘটায় ($s_x < 0 \implies Y$-অক্ষ প্রতিফলন, $s_y < 0 \implies X$-অক্ষ প্রতিফলন) এবং শীর্ষবিন্দুর ঘূর্ণন দিক উল্টে দেয়।
• ক্ষেত্রফল উপপাদ্য: $\text{Area}_{new} = |s_x \cdot s_y| \cdot \text{Area}_{orig} = |\det(\mathbf{S})| \cdot \text{Area}_{orig}$।
• ঢালের রূপান্তর: অসম স্কেলিং-এ সরলরেখার ঢাল $m' = m \cdot \left(\frac{s_y}{s_x}\right)$ সূত্রানুযায়ী পরিবর্তিত হয়।