2D Translation

2D ট্রান্সলেশন (2D Translation) কী?

কম্পিউটার গ্রাফিক্সে 2D ট্রান্সলেশন (2D Translation) হলো একটি মৌলিক জ্যামিতিক রূপান্তর (Geometric Transformation), যার মাধ্যমে দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় সমতলে অবস্থিত কোনো বস্তু বা বিন্দুর প্রতিটি অবস্থানকে একটি নির্দিষ্ট দিক ও দূরত্বে স্থানান্তরিত করা হয়।

স্কেলিং (Scaling) বা শিয়ারিং (Shearing)-এর মতো রূপান্তরগুলো যেখানে বস্তুর আকৃতি বা আকার পরিবর্তন করে ফেলে, সেখানে ট্রান্সলেশন হলো একটি দৃঢ়-বস্তু রূপান্তর (Rigid-body Transformation) বা আইসোমেট্রি (Isometry)। এটি কোনো বস্তুর আকার, অভ্যন্তরীণ কোণ বা অরিয়েন্টেশন (দিকবিন্যাস) পরিবর্তন না করেই শুধুমাত্র তার অবস্থান পরিবর্তন করে:

• বস্তুর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু (Vertex) সমান্তরাল সরলরেখা বরাবর একই দূরত্বে সরে যায়।
• প্রতিটি বিন্দুতে সমপরিমাণ স্থানচ্যুতি ভেক্টর $\vec{T} = \langle t_x, t_y \rangle$ যুক্ত হয়।
• বিন্দুগুলোর মধ্যবর্তী ইউক্লিডীয় দূরত্ব, ক্ষেত্রফল, পরিধি এবং সরলরেখার ঢাল পুরোপুরি অপরিবর্তিত থাকে।

$P(x, y) \xrightarrow{\quad \vec{T}(t_x, t_y) \quad} P'(x', y')$

এখানে:

• $(x, y)$ হলো বিন্দুর মূল বা প্রাথমিক স্থানাঙ্ক।
• $t_x$ হলো $x$-অক্ষ বরাবর সরণ (Horizontal Translation Factor)।
• $t_y$ হলো $y$-অক্ষ বরাবর সরণ (Vertical Translation Factor)।
• $(x', y')$ হলো স্থানান্তরের পর নতুন রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক।

---

---

গাণিতিক সমীকরণ (Mathematical Formulation)

১. বীজগাণিতিক সমীকরণ

যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$-এর ক্ষেত্রে ট্রান্সলেশন ভেক্টর $\vec{T} = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$ প্রয়োগ করলে নতুন স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়:

$x' = x + t_x$

$y' = y + t_y$

• যদি $t_x > 0$ হয়, বস্তুটি ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর ডানদিকে সরে যায়।
• যদি $t_x < 0$ হয়, বস্তুটি ঋণাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর বামদিকে সরে যায়।
• যদি $t_y > 0$ হয়, বস্তুটি ধনাত্মক $y$-অক্ষ বরাবর উপরের দিকে সরে যায় (কার্তেসীয় সমতল অনুযায়ী)।
• যদি $t_y < 0$ হয়, বস্তুটি ঋণাত্মক $y$-অক্ষ বরাবর নিচের দিকে সরে যায়।

২. ভেক্টর যোগফল উপস্থাপন

ভেক্টর আকারে একটি বিন্দুর অবস্থান ও ট্রান্সলেশন অফসেটকে কলাম ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করা হয়:

$P' = P + T \iff \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$

---

ট্রান্সলেশনের অ-রৈখিক চরিত্র ও হোমোজেনিয়াস স্থানাঙ্কের প্রয়োজনীয়তা

বিশ্ববিদ্যালয় ও প্রাতিষ্ঠানিক পরীক্ষায় একটি অত্যন্ত জনপ্রিয় প্রশ্ন হলো: কেন 2D ট্রান্সলেশনকে একটি বিশুদ্ধ $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স গুণন আকারে প্রকাশ করা যায় না?

দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন (রৈখিক রূপান্তর)-এর মূল শর্ত হলো: $T(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + \beta T(\mathbf{v})$ এবং এটি অবশ্যই মূলবিন্দুকে (origin) অপরিবর্তিত রাখবে: $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

কিন্তু মূলবিন্দু $(0, 0)$-তে ট্রান্সলেশন চালালে দেখা যায়:

$x' = 0 + t_x = t_x$

$y' = 0 + t_y = t_y$

যদি $t_x = t_y = 0$ না হয়, তবে মূলবিন্দু নিজেই $(t_x, t_y)$-তে স্থানান্তরিত হয়ে যায়! ফলে 2D কার্তেসীয় স্থানে ট্রান্সলেশন কোনো লিনিয়ার রূপান্তর নয়, বরং এটি একটি অ্যাফাইন রূপান্তর (Affine Transformation)।

আমরা যদি একটি সাধারণ $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করি: $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}$

$a, b, c, d$-এর এমন কোনো ধ্রুবক মান পাওয়া সম্ভব নয় যা $x$ ও $y$-এর মানের উপর নির্ভর না করে সরাসরি ধ্রুবক পদ $t_x$ এবং $t_y$ যোগ করতে পারে। যোগের এই ধ্রুবক পদটির কারণেই $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স দিয়ে ট্রান্সলেশনকে শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স গুণন আকারে লেখা সম্ভব হয় না।

এই সমস্যার সমাধান এবং ট্রান্সলেশন, রোটেশন ও স্কেলিংকে একক গুণন পাইপলাইনে পরিচালনার জন্য কম্পিউটার গ্রাফিক্সে হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেটস (Homogeneous Coordinates) ব্যবহার করা হয়।

---

হোমোজেনিয়াস স্থানাঙ্কে ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন

হোমোজেনিয়াস স্থানাঙ্কে দ্বিমাত্রিক বিন্দু $(x, y)$-কে ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থানে $(x, y, 1)$ বা সাধারণভাবে $(W \cdot x, W \cdot y, W)$ আকারে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে $W \neq 0$ (অ্যাফাইন রূপান্তরের ক্ষেত্রে সাধারণত $W = 1$ ধরা হয়)।

১. কলাম-ভেক্টর কনভেনশন (Column-Vector Convention)

যখন বিন্দুগুলোকে কলাম ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তখন ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্সটি বিন্দুর বাম পাশ থেকে গুণ হয়:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

ম্যাট্রিক্স গুণন বিস্তার করলে: $\begin{bmatrix} 1 \cdot x + 0 \cdot y + t_x \cdot 1 \\ 0 \cdot x + 1 \cdot y + t_y \cdot 1 \\ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$

এখানে $3 \times 3$ ট্রান্সলেশন ম্যাট্রিক্সটিকে $T(t_x, t_y)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

২. রো-ভেক্টর কনভেনশন (Row-Vector Convention)

ডাইরেক্টএক্স (DirectX) বা কিছু বিশেষ সিস্টেমে বিন্দুগুলোকে রো ভেক্টর $[x \quad y \quad 1]$ আকারে লেখা হয়। সেক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সটি ডানপাশে বসে এবং মূল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ রূপ ধারণ করে:

$\begin{bmatrix} x' & y' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ t_x & t_y & 1 \end{bmatrix}$

---

বিপরীত ট্রান্সলেশন (Inverse Translation)

ইনভার্স ট্রান্সলেশন বা বিপরীত ট্রান্সলেশন স্থানান্তরিত বিন্দুকে পুনরায় তার পূর্বের আদি অবস্থানে ফিরিয়ে নিয়ে আসে।

যদি কোনো বস্তুকে $\vec{T} = \langle t_x, t_y \rangle$ দ্বারা সরানো হয়, তবে তাকে ঠিক বিপরীত ভেক্টর $\langle -t_x, -t_y \rangle$ দ্বারা সরালেই মূল অবস্থানে ফিরে আসবে:

$T^{-1}(t_x, t_y) = T(-t_x, -t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

যেকোনো ট্রান্সলেশন ম্যাট্রিক্সকে তার ইনভার্স দিয়ে গুণ করলে অভেদক ম্যাট্রিক্স বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স $I$ পাওয়া যায়:

$T(t_x, t_y) \cdot T^{-1}(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

---

ধারাবাহিক (যৌগিক) ট্রান্সলেশন ও বিনিময় বিধি (Commutativity)

একটি বস্তুকে যদি পরপর দুটি ট্রান্সলেশনের মধ্য দিয়ে চালনা করা হয়—প্রথমে $T_1(t_{1x}, t_{1y})$ এবং পরবর্তীতে $T_2(t_{2x}, t_{2y})$—তবে নিট বা সম্মিলিত ট্রান্সলেশনটি ম্যাট্রিক্স গুণনের মাধ্যমে পাওয়া যায়:

$T_{net} = T_2(t_{2x}, t_{2y}) \cdot T_1(t_{1x}, t_{1y})$

ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল বের করলে:

$T_{net} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{2x} \\ 0 & 1 & t_{2y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{1x} \\ 0 & 1 & t_{1y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{1x} + t_{2x} \\ 0 & 1 & t_{1y} + t_{2y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = T(t_{1x} + t_{2x}, t_{1y} + t_{2y})$

বিনিময় বিধির প্রমাণ (Proof of Commutativity)

সাধারণভাবে ম্যাট্রিক্স গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না (যেমন: ট্রান্সলেশনের পর রোটেশন $\neq$ রোটেশনের পর ট্রান্সলেশন)। কিন্তু বিশুদ্ধ ট্রান্সলেশন সর্বদা বিনিময় বিধি (Commutative Law) মেনে চলে:

$T_1 \cdot T_2 = T_2 \cdot T_1 = T(t_{1x} + t_{2x}, t_{1y} + t_{2y})$

যেহেতু স্কেলার বাস্তব সংখ্যার যোগফল বিনিময়শীল ($t_{1x} + t_{2x} = t_{2x} + t_{1x}$ এবং $t_{1y} + t_{2y} = t_{2y} + t_{1y}$), তাই প্রথমে $T_1$ প্রয়োগ করে পরে $T_2$ করা, কিংবা প্রথমে $T_2$ করে পরে $T_1$ করার ফলাফল সম্পূর্ণ অভিন্ন।

---

ট্রান্সলেশনের জ্যামিতিক অপরিবর্তনশীল ধর্মসমূহ (Geometric Invariants)

ইনভেরিয়েন্ট (Invariant) হলো জ্যামিতিক বস্তুর এমন কিছু বৈশিষ্ট্য যা কোনো রূপান্তর প্রয়োগের পরেও হুবহু অপরিবর্তিত থাকে। ট্রান্সলেশন নিচের গুরুত্বপূর্ণ ধর্মগুলো অক্ষুণ্ণ রাখে:

---

ইন্টারঅ্যাক্টিভ 2D রূপান্তর এক্সপ্লোরার

নিচের ইন্টারঅ্যাক্টিভ সিমুলেটরে ট্রান্সলেশন অফসেট ($t_x, t_y$) পরিবর্তন করে দেখুন কীভাবে কার্তেসীয় সমতলে বস্তুর জ্যামিতিক ধর্ম ও ক্ষেত্রফল অটুট রেখে প্রতিটি বিন্দু নিখুঁতভাবে স্থানান্তরিত হয়।

---

বিভিন্ন অ্যাঙ্গেল বা দৃষ্টিকোণ থেকে গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান

বিশ্ববিদ্যালয় ও সেমিস্টার ফাইনাল পরীক্ষার জন্য ট্রান্সলেশনকে নানা রকম বাস্তব ও তাত্ত্বিক অ্যাঙ্গেল থেকে অনুধাবন করা জরুরি। নিচে ১০টি ভিন্ন ভিন্ন অ্যাঙ্গেলের সমন্বয়ে বিস্তারিত সমাধান উপস্থাপন করা হলো।

---

অ্যাঙ্গেল ১: সরাসরি ফরোয়ার্ড বিন্দু স্থানান্তর ও স্থানচ্যুতি ভেক্টরের কোণ নির্ণয়

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) নতুন স্থানাঙ্ক নির্ণয়:

$x' = x + t_x = 4 + (-6) = -2$

$y' = y + t_y = -3 + 8 = 5$ হোমোজেনিয়াস ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে: $\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 6 \\ -3 + 8 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\mathbf{P' = (-2, 5)}$

(খ) অতিক্রান্ত দূরত্ব $d$ নির্ণয়: $d = \sqrt{t_x^2 + t_y^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10\text{ একক}}$

(গ) দিক কোণ $\phi$ নির্ণয়: $\phi = \operatorname{atan2}(t_y, t_x) = \operatorname{atan2}(8, -6)$ যেহেতু $t_x < 0$ এবং $t_y > 0$, ভেক্টরটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (Second Quadrant) অবস্থিত: $\phi = 180^\circ - \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = 180^\circ - 53.13^\circ = \mathbf{126.87^\circ}$

---

অ্যাঙ্গেল ২: নির্দিষ্ট কোণ $\theta$ বরাবর দূরত্ব $d$ স্থানান্তর (পোলার ট্রান্সলেশন)

রোবোটিক্স, গেম ইঞ্জিন ও এনিমেশনে প্রায়ই কোনো বস্তুকে সরাসরি কার্তেসীয় ভেক্টর না দিয়ে একটি নির্দিষ্ট কোণ $\theta$ বরাবর $d$ দূরত্বে স্থানান্তর করার নির্দেশ দেওয়া হয়।

ধাপভিত্তিক সমাধান:

১. স্থানচ্যুতি ভেক্টরকে কার্তেসীয় উপাংশে ($t_x, t_y$) বিভক্ত করা:

$t_x = d \cdot \cos\theta = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.6603$

$t_y = d \cdot \sin\theta = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

২. ট্রান্সলেশন ভেক্টর গঠন: $\vec{T} = \begin{bmatrix} 5\sqrt{3} \\ 5 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 8.6603 \\ 5 \end{bmatrix}$

৩. বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব:

$x' = x + t_x = 2 + 5\sqrt{3} \approx 2 + 8.6603 = 10.6603$

$y' = y + t_y = 5 + 5 = 10$

নির্ণেয় স্থানাঙ্ক: $\mathbf{P' = \left(2 + 5\sqrt{3},\; 10\right)} \approx \mathbf{(10.66,\; 10.00)}$

---

অ্যাঙ্গেল ৩: বিপরীত রূপান্তর ও অজানা ট্রান্সলেশন ভেক্টর বের করা

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) ইনভার্স ট্রান্সলেশন ম্যাট্রিক্স $T^{-1}$ প্রয়োগ: $T(-7, 4)$-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো $T^{-1}(-7, 4) = T(7, -4)$। $\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 7 \\ 1 - 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\mathbf{P = (10, -3)}$

যাচাই: $x' = 10 + (-7) = 3$ এবং $y' = -3 + 4 = 1$। যা $P'(3, 1)$-এর সাথে হুবহু মিলে যায়!

(খ) অজ্ঞাত ট্রান্সলেশন ভেক্টর $\vec{T}_Q$ নির্ণয়: $\vec{T}_Q = Q' - Q \implies \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{Q'} - x_Q \\ y_{Q'} - y_Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 - 1 \\ -5 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \end{bmatrix}$ $\mathbf{\vec{T}_Q = \langle 8, -6 \rangle}$

---

অ্যাঙ্গেল ৪: সরলরেখাংশের স্থানান্তর ও দৈর্ঘ্য-ঢালের অপরিবর্তনশীলতার প্রমাণ

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) প্রান্তবিন্দুর স্থানান্তর: $A(1, 2)$-এর জন্য: $\begin{bmatrix} x_A' \\ y_A' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{A'(4, 1)}$

$B(5, 5)$-এর জন্য: $\begin{bmatrix} x_B' \\ y_B' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{B'(8, 4)}$

(খ) দূরত্ব অপরিবর্তনশীলতার প্রমাণ: আদি দৈর্ঘ্য $|AB|$: $|AB| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

স্থানান্তরিত দৈর্ঘ্য $|A'B'|$: $|A'B'| = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\mathbf{|A'B'| = |AB| = 5} \quad \text{(দূরত্ব ইনভেরিয়েন্ট প্রমাণিত)}$

(গ) ঢাল অপরিবর্তনশীলতার প্রমাণ: আদি ঢাল $m_{AB}$: $m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{5 - 1} = \frac{3}{4} = 0.75$

স্থানান্তরিত ঢাল $m_{A'B'}$: $m_{A'B'} = \frac{y_B' - y_A'}{x_B' - x_A'} = \frac{4 - 1}{8 - 4} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\mathbf{m_{A'B'} = m_{AB} = \frac{3}{4}} \quad \text{(সমান্তরালতা ও ঢাল ইনভেরিয়েন্ট প্রমাণিত)}$

---

অ্যাঙ্গেল ৫: শীর্ষবিন্দু ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে বহুভুজ স্থানান্তর ও ক্ষেত্রফল সংরক্ষণ

গ্রাফিক্স হার্ডওয়্যারে বহুভুজের সবগুলো শীর্ষবিন্দুকে একক ম্যাট্রিক্স গুণনের মাধ্যমে রূপান্তর করা হয়।

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) শীর্ষবিন্দু ম্যাট্রিক্স (Vertex Matrix): প্রতিটি কলামে একটি করে শীর্ষবিন্দু $[x_i, y_i, 1]^T$ সাজিয়ে: $[P] = \begin{bmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(খ) একযোগে ম্যাট্রিক্স গুণন: $[P'] = [T] \cdot [P]$ $[P'] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

সারি ও কলাম গুণ করে:

• ১ম সারি: $[1\cdot 0 + 0 + 4\cdot 1, \quad 1\cdot 6 + 0 + 4\cdot 1, \quad 1\cdot 2 + 0 + 4\cdot 1] = [4, \quad 10, \quad 6]$
• ২য় সারি: $[0 + 1\cdot 0 + 3\cdot 1, \quad 0 + 1\cdot 0 + 3\cdot 1, \quad 0 + 1\cdot 4 + 3\cdot 1] = [3, \quad 3, \quad 7]$
• ৩য় সারি: $[0 + 0 + 1\cdot 1, \quad 0 + 0 + 1\cdot 1, \quad 0 + 0 + 1\cdot 1] = [1, \quad 1, \quad 1]$

$[P'] = \begin{bmatrix} 4 & 10 & 6 \\ 3 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

সুতরাং, স্থানান্তরিত শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: $\mathbf{A'(4, 3), \quad B'(10, 3), \quad C'(6, 7)}$

(গ) ক্ষেত্রফল সংরক্ষণের প্রমাণ: শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: $\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|$

আদি ত্রিভুজ $ABC$-এর ক্ষেত্রফল: $\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} |0(0 - 4) + 6(4 - 0) + 2(0 - 0)| = \frac{1}{2} |24| = \mathbf{12\text{ বর্গ একক}}$

স্থানান্তরিত ত্রিভুজ $A'B'C'$-এর ক্ষেত্রফল: $\text{Area}(A'B'C') = \frac{1}{2} |4(3 - 7) + 10(7 - 3) + 6(3 - 3)| = \frac{1}{2} |-16 + 40| = \frac{1}{2} |24| = \mathbf{12\text{ বর্গ একক}}$

$\mathbf{\text{Area}(A'B'C') = \text{Area}(ABC) = 12} \quad \text{(ক্ষেত্রফল ইনভেরিয়েন্ট প্রমাণিত)}$

---

অ্যাঙ্গেল ৬: বক্ররেখা ও বৃত্তের সমীকরণ স্থানান্তর (Geometric vs Algebraic)

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) পদ্ধতি ১: জ্যামিতিক কেন্দ্র স্থানান্তর আদর্শ সমীকরণ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$-এর সাথে তুলনা করে পাই:

• বৃত্তের আদি কেন্দ্র $C = (h, k) = (3, -1)$
• ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{16} = 4$

যেহেতু ট্রান্সলেশনে কোনো বিকৃতি ঘটে না, ব্যাসার্ধ হুবহু অপরিবর্তিত থাকবে: $r' = r = 4$। নতুন কেন্দ্র $C'$ পাওয়া যাবে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ককে স্থানান্তর করে:

$h' = h + t_x = 3 + (-4) = -1$

$k' = k + t_y = -1 + 5 = 4$

অর্থাৎ নতুন কেন্দ্র $C' = (-1, 4)$। নতুন কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বসিয়ে বৃত্তের সমীকরণ: $(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 4^2 \implies \mathbf{(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 16}$

(খ) পদ্ধতি ২: বীজগণিতীয় চলক প্রতিস্থাপন নতুন স্থানাঙ্কের মাধ্যমে আদি স্থানাঙ্ক প্রকাশ করলে: $x' = x + t_x \implies x = x' - t_x = x' - (-4) = x' + 4$ $y' = y + t_y \implies y = y' - t_y = y' - 5$

আদি সমীকরণে $x$ ও $y$-এর মান বসিয়ে:

$((x' + 4) - 3)^2 + ((y' - 5) + 1)^2 = 16$

$(x' + 1)^2 + (y' - 4)^2 = 16$

প্রাইম চিহ্ন উঠিয়ে কার্তেসীয় রূপ লিখলে: $\mathbf{(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 16}$ উভয় পদ্ধতিতে প্রাপ্ত সমীকরণ সম্পূর্ণ অভিন্ন!

---

অ্যাঙ্গেল ৭: সরলরেখার সাধারণ সমীকরণের স্থানান্তর ($Ax + By + C = 0$)

ধাপভিত্তিক সমাধান:

১. চলক প্রতিস্থাপন: $x = x' - t_x = x' - 3$ $y = y' - t_y = y' - (-2) = y' + 2$

২. সমীকরণে মান বসানো: $2(x' - 3) - 3(y' + 2) + 6 = 0$ $2x' - 6 - 3y' - 6 + 6 = 0$ $2x' - 3y' - 6 = 0$

সাধারণ রূপে লিখলে: $\mathbf{2x - 3y - 6 = 0}$

৩. ঢালের তুলনা:

• আদি রেখা: $3y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2 \implies m = \frac{2}{3}$
• স্থানান্তরিত রেখা: $3y = 2x - 6 \implies y = \frac{2}{3}x - 2 \implies m' = \frac{2}{3}$

$\mathbf{m' = m = \frac{2}{3}}$ উভয় রেখার ঢাল অভিন্ন হওয়ায় প্রমাণিত হলো যে একটি সরলরেখাকে ট্রান্সলেট করলে উৎপন্ন নতুন রেখাটি আদি রেখার সমান্তরাল থাকে।

---

অ্যাঙ্গেল ৮: অ্যানিমেশন লুপে একাধিক ধারাবাহিক ট্রান্সলেশন

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) যৌগিক ম্যাট্রিক্স গঠন: বিশুদ্ধ ট্রান্সলেশনের ক্ষেত্রে সরণগুলোর উপাংশ সরাসরি বীজগণিতীয়ভাবে যোগ হয়:

$t_{net, x} = t_{1x} + t_{2x} + t_{3x} = 5 + (-2) + 1 = 4$

$t_{net, y} = t_{1y} + t_{2y} + t_{3y} = -3 + 7 + (-2) = 2$

সম্মিলিত ম্যাট্রিক্স: $T_{composite} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(খ) চূড়ান্ত অবস্থান নির্ণয়: $\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 4 \\ 4 + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\mathbf{P_{final} = (6, 6)}$

(গ) ক্রম পরিবর্তনের প্রভাব: যেহেতু ভেক্টরের স্কেলার যোগফল বিনিময় ও সংযোগ বিধি মেনে চলে ($T_1 \cdot T_2 = T_2 \cdot T_1$), তাই ধাপগুলোর ক্রম আগে বা পরে হলেও চূড়ান্ত নিট ভেক্টর সর্বদা $\langle 4, 2 \rangle$-ই থাকবে। অর্থাৎ অবস্থানের কোনো পরিবর্তন হবে না।

---

অ্যাঙ্গেল ৯: পিভট-পয়েন্ট প্রাক-স্থানান্তর (অরবিট ও আরবিট্রারি পয়েন্ট ট্রান্সফরমেশন)

কম্পিউটার গ্রাফিক্সে যেকোনো আরবিট্রারি পয়েন্ট বা নির্দিষ্ট পিভট বিন্দু $(x_r, y_r)$-কে কেন্দ্র করে রোটেশন বা স্কেলিং করার জন্য ট্রান্সলেশন একটি অপরিহার্য প্রাথমিক ও চূড়ান্ত পদক্ষেপ।

ধাপভিত্তিক সমাধান:

তিনটি ধাপে এই রূপান্তর সম্পন্ন হয়: ১. প্রাক-স্থানান্তর ($T_{-r}$): পিভট বিন্দু $(x_r, y_r)$-কে মূলবিন্দু $(0, 0)$-তে সরিয়ে নেওয়া হয়: $T(-x_r, -y_r) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_r \\ 0 & 1 & -y_r \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ২. মূল রূপান্তর ($R_{\theta}$): মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রয়োজনীয় রোটেশন ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ করা হয়: $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ৩. পরবর্তী স্থানান্তর ($T_r$): পিভট বিন্দুকে পুনরায় তার আদি অবস্থান $(x_r, y_r)$-তে ফেরত পাঠানো হয়: $T(x_r, y_r) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x_r \\ 0 & 1 & y_r \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

সম্মিলিত যৌগিক ম্যাট্রিক্স:

$M_{composite} = T(x_r, y_r) \cdot R(\theta) \cdot T(-x_r, -y_r)$

---

অ্যাঙ্গেল ১০: বিশ্ববিদ্যালয় ফাইনাল পরীক্ষার নমুনা প্রশ্ন ও সমাধান

ধাপভিত্তিক সমাধান:

(ক) গাণিতিক প্রতিপাদন:

• ধরি, $P(x, y)$ বিন্দুটি $\vec{T} = \langle t_x, t_y \rangle$ দ্বারা স্থানান্তরিত হয়ে $P'(x', y')$ হয়: $x' = x + t_x, \quad y' = y + t_y$
• হোমোজেনিয়াস কোঅর্ডিনেটসে ত্রিমাত্রিক ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করলে: $\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$
• দুটি ধারাবাহিক ট্রান্সলেশন $T_1 = T(t_{1x}, t_{1y})$ এবং $T_2 = T(t_{2x}, t_{2y})$ হলে: $T_2 \cdot T_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{2x} \\ 0 & 1 & t_{2y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{1x} \\ 0 & 1 & t_{1y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{1x} + t_{2x} \\ 0 & 1 & t_{1y} + t_{2y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $T_1 \cdot T_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{1x} \\ 0 & 1 & t_{1y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{2x} \\ 0 & 1 & t_{2y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{2x} + t_{1x} \\ 0 & 1 & t_{2y} + t_{1y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ যেহেতু বাস্তব সংখ্যার স্কেলার যোগ বিনিময়শীল ($t_{1x} + t_{2x} = t_{2x} + t_{1x}$), তাই $T_2 \cdot T_1 = T_1 \cdot T_2 = T(t_{1x} + t_{2x}, t_{1y} + t_{2y})$। (প্রমাণিত)

(খ) আয়তক্ষেত্র $ABCD$-এর স্থানান্তর:

• ট্রান্সলেশন প্যারামিটার: $t_x = -3$, $t_y = +4$।
• ট্রান্সলেশন ম্যাট্রিক্স: $T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• শীর্ষবিন্দু ম্যাট্রিক্স: $[P] = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
• স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স: $[P'] = [T][P] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 & -2 \\ 5 & 5 & 8 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

নতুন শীর্ষবিন্দুসমূহ: $\mathbf{A'(-2, 5), \quad B'(2, 5), \quad C'(2, 8), \quad D'(-2, 8)}$

পরিসীমা যাচাই:

• আদি আয়তক্ষেত্র: প্রস্থ $= |AB| = 5 - 1 = 4$, উচ্চতা $= |BC| = 4 - 1 = 3$। $\text{পরিসীমা}_{আদি} = 2(4 + 3) = \mathbf{14\text{ একক}}$
• স্থানান্তরিত আয়তক্ষেত্র: প্রস্থ $= |A'B'| = 2 - (-2) = 4$, উচ্চতা $= |B'C'| = 8 - 5 = 3$। $\text{পরিসীমা}_{স্থানান্তরিত} = 2(4 + 3) = \mathbf{14\text{ একক}}$ $\text{পরিসীমা}_{আদি} = \text{পরিসীমা}_{স্থানান্তরিত} = 14 \quad \text{(অপরিবর্তনশীল)}$

---

তুলনা সারণী: অন্যান্য রূপান্তরের সাথে ট্রান্সলেশনের পার্থক্য

---

নিজের জ্ঞান যাচাই করো (Quiz)

---

সারসংক্ষেপ ও প্রধান শিক্ষণীয় বিষয়

• মূল ধারণা: 2D ট্রান্সলেশন হলো একটি স্থানচ্যুতি ভেক্টর $\vec{T} = \langle t_x, t_y \rangle$ দ্বারা বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন। এটি একটি আইসোমেট্রি, যা দৈর্ঘ্য, কোণ, ঢাল, সমান্তরালতা এবং ক্ষেত্রফল হুবহু সংরক্ষণ করে।
• হোমোজেনিয়াস স্থানাঙ্ক: যেহেতু ট্রান্সলেশন একটি অ্যাফাইন রূপান্তর, তাই $3 \times 3$ হোমোজেনিয়াস ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে এটিকে রোটেশন ও স্কেলিংয়ের সাথে একই গুণন পাইপলাইনে আনা হয়: $\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$
• বিপরীত ট্রান্সলেশন: স্থানচ্যুতিকে বিপরীত করতে কেবল চিহ্ন উল্টে দিলেই হয়: $T^{-1}(t_x, t_y) = T(-t_x, -t_y)$।
• বিনিময়যোগ্যতা: বিশুদ্ধ ট্রান্সলেশনগুলো একে অপরের সাথে বিনিময় বিধি মেনে চলে ($T_1 \cdot T_2 = T_2 \cdot T_1$)।
• পোলার ট্রান্সলেশন: কোণ $\theta$ ও দূরত্ব $d$ দেওয়া থাকলে কার্তেসীয় উপাংশে রূপান্তর সূত্র: $t_x = d \cos\theta$ এবং $t_y = d \sin\theta$।
• পিভট-পয়েন্ট সমন্বয়: যেকোনো আরবিট্রারি বিন্দুর সাপেক্ষে রোটেশন বা স্কেলিং সম্পন্ন করার ক্ষেত্রে পিভট বিন্দুকে মূলবিন্দুতে স্থানান্তর ($T_{-r}$) এবং পরবর্তীতে পুনরায় ফিরিয়ে আনা ($T_r$) হলো মূল ভিত্তি।