Chapter 6 of 8
When players move one at a time, game trees and backward induction take over
এতদিন আমরা যেসব গেম অধ্যয়ন করেছি তাতে খেলোয়াড়রা একসাথে পদক্ষেপ নিয়েছে। কেউই অন্য কারো পদক্ষেপ দেখার আগে নিজেরটা বেছে নেয়নি। এটি অনেক গেমকে পেওয়াফ ম্যাট্রিক্স দিয়ে মডেল করা সহজ করে — কিন্তু বাস্তব কৌশলগত জীবনের অর্ধেক ফেলে দেয়।
বাস্তবে, বেশিরভাগ কৌশলগত মিথস্ক্রিয়া ধারাবাহিক। তুমি প্রথমে পদক্ষেপ নাও, আমি পর্যবেক্ষণ করি, আমি সাড়া দিই। প্রথম খেলোয়াড় জানে আমি তাদের পদক্ষেপ দেখব। দ্বিতীয় খেলোয়াড় ঠিকই জানে প্রথম খেলোয়াড় কী করেছে। প্রতিটি খেলোয়াড়ের পছন্দ আগে কী ঘটেছে তার উপর নির্ভর করতে পারে।
এখানেই গেম ট্রি (যাকে এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেমও বলা হয়) আসে। একটি গেম ট্রি একটি ধারাবাহিক গেমের সম্পূর্ণ কাঠামোকে একটি গাছ হিসেবে দেখায়: প্রতিটি সিদ্ধান্ত পয়েন্ট একটি নোড, প্রতিটি সম্ভাব্য পদক্ষেপ একটি শাখা, এবং পাতাগুলো পেওয়াফ ধারণ করে। গেম সমাধান করা মানে পাতা থেকে শুরু করে পেছনের দিকে কাজ করা — একে ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন বলা হয় — এবং পথে সাবগেম ও তথ্য সেট চিহ্নিত করা।
তুমি তোমার বেতন নিয়ে আলোচনা করছো। নিয়োগকর্তা একটি প্রারম্ভিক অফার দেয়: মাসে ৪০,০০০ টাকা। তুমি গ্রহণ, প্রত্যাখ্যান, বা ৫০,০০০ টাকায় কাউন্টার করতে পারো। যদি তুমি গ্রহণ করো, তুমি ৪০,০০০ টাকায় নিযুক্ত হও। যদি তুমি প্রত্যাখ্যান করো, নিয়োগকর্তা ৪০,০০০ টাকায় অটল থাকতে পারে বা ৪৫,০০০ টাকায় উঠতে পারে। তারপর তুমি তোমার চূড়ান্ত পছন্দ করো। যদি তুমি ৫০,০০০ টাকায় কাউন্টার করো, নিয়োগকর্তা গ্রহণ করে, চলে যায়, বা ৪৭,৫০০ টাকায় কাউন্টার করে, এবং তুমি চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত নাও।
এটি একটি গেম ট্রি। তোমার প্রথম সিদ্ধান্ত (গ্রহণ, প্রত্যাখ্যান, বা কাউন্টার) নিয়োগকর্তার চূড়ান্ত সাড়া জানার আগে ঘটে — কিন্তু তাদের প্রারম্ভিক অফার জানার পরে। নিয়োগকর্তার সাড়া তোমার পদক্ষেপ দেখার পরে ঘটে। তোমার চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত তাদের কাউন্টার দেখার পরে ঘটে। তিন স্তরের সিদ্ধান্ত, প্রতিটি নোডে শাখা, পাতায় পেওয়াফ। এটি সমাধান করতে, তুমি পাতা থেকে শুরু করে পেছনের দিকে কাজ করো।
একটি এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেম একটি টুপল যেখানে:
বাংলায়:
একটি সম্পূর্ণ গেম ট্রি দেখায়: পদক্ষেপের ক্রম, উপলব্ধ পদক্ষেপ, প্রতিটি খেলোয়াড় পদক্ষেপ নেওয়ার সময় কী জানে, এবং শেষে প্রতিটি খেলোয়াড় কী পায়।
ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন নিখুঁত তথ্য সহ এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেম সমাধান করে:
উৎপন্ন কৌশল প্রোফাইল হলো ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন ফলাফল।
সহজাত: পাতা থেকে কাজ করো, যেখানে তুমি সরাসরি দেখতে পারো কী সেরা; প্রতিটি সাবগেমকে এর সেরা ফলাফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করো; সরলতর গেম দিয়ে গাছে উপরে যাও।
একটি ছোট গেম ট্রি ধাপে ধাপে সমাধান করো। প্রথমে Player 2-এর সাবগেম (Up-এর পরে) সমাধান করো, তারপর Player 1-এর রুট পছন্দ। নিজের গেম তৈরি করতে যেকোনো পাতার পেওয়াফ এডিট করো — সমাধান তাৎক্ষণিকভাবে পুনঃগণনা হয়।
Standard entry game: incumbent accommodates when entry is profitable.
Step
Solve the last subgame first: Player 2's choice.
Player 2 chooses
After Up, Player 2 chooses between L and R. Highlight whichever gives the higher Col payoff (second number).
Edit leaf payoffs (Row · Col)
Up → L
Up → R
Down
Player 2's best response (after Up)
Player 2 picks L (Col payoff 2).
Player 1's root choice
Player 1 picks Down (Row payoff 4).
Equilibrium payoffs
(4, 1)
এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেমের একটি সাবগেম হলো একটি সাবগ্রাফ যা:
"কোনো তথ্য সেট কাটা নিষিদ্ধ" শর্তটি প্রযুক্তিগত কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ: একটি সাবগেম অবশ্যই একটি স্বয়ংসম্পূর্ণ গেমের অংশ হতে হবে যা একজন খেলোয়াড় গেমের বাকি অংশ গুরুত্বপূর্ণ নয় এমনভাবে যুক্তি দিতে পারে।
একটি তথ্য সেট হলো একজন খেলোয়াড়ের সিদ্ধান্ত নোডের একটি পার্টিশন যেখানে খেলোয়াড়:
তথ্য সেট সাধারণত গেম ট্রিতে নোডগুলোকে সংযোগকারী ড্যাশ বা ডটেড লাইন হিসেবে আঁকা হয়।
ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন পরিষ্কারভাবে প্রয়োগ করা যায় শুধুমাত্র যখন প্রতিটি তথ্য সেট একক — যখন প্রতিটি নোডে খেলোয়াড় ঠিক জানেন আগে কী ঘটেছে। অসম্পূর্ণ তথ্যের সাথে, খেলোয়াড় জানেন না তারা কোন নোডে, তাই তারা "এখানে কী সেরা" একইভাবে গণনা করতে পারে না।
পরবর্তী অধ্যায় এই ভিত্তির উপর সরাসরি তৈরি হয়। আমরা সাবগেম পারফেক্ট ইকুইলিব্রিয়াম (SPE) সংজ্ঞায়িত করব — ইকুইলিব্রিয়াম ধারণা যা প্রতিটি সাবগেমে ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম আচরণ দাবি করে, অবিশ্বাস্য হুমকি বাদ দিয়ে।